চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

প্রথমে উভয় সময়কে একই এককে (মিনিটে) রূপান্তর করি:

২ ঘন্টা ৪০ মিনিট = $(2 \times 60) + 40 = 120 + 40 = 160$ মিনিট।

৬ ঘন্টা = $6 \times 60 = 360$ মিনিট।

নির্ণেয় অংশ = $\frac{160}{360} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$

দেওয়া আছে, সার্বিক সেট $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$P = \{1, 2, 5\}$ এবং $Q = \{6, 7\}$

প্রথমে $Q'$ (পূরক সেট) নির্ণয় করি:

$Q' = U \setminus Q = \{1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10\}$

এখন, $P \cap Q' = \{1, 2, 5\} \cap \{1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10\} = \{1, 2, 5\} = P$

ধারাটি হলো: $\log 2, \log 4, \log 8, \dots$ (এখানে অপশনে সামান্য মুদ্রণত্রুটি রয়েছে, পদগুলো গুণোত্তর ধারার নিয়মে দ্বিগুণ হচ্ছে)।

পদগুলোকে লেখা যায়: $\log 2^1, \log 2^2, \log 2^3, \dots$

এটি একটি গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ $a = \log 2$ এবং সাধারণ অনুপাত হলো লগারিদম এর ধর্ম অনুযায়ী পরবর্তী পদ থেকে নির্ধারিত।

সাধারণভাবে $n$-তম পদ = $\log(2^n)$

অষ্টম পদ ($n = 8$) = $\log(2^8) = \log 256$

চৌবাচ্চার আয়তন = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা

$= 3 \text{ মি.} \times 4 \text{ মি.} \times 5 \text{ মি.} = 60 \text{ ঘনমিটার}$

আমরা জানি, $1 \text{ ঘনমিটার} = 1000 \text{ লিটার}$।

অতএব, চৌবাচ্চায় পানির পরিমাণ = $60 \times 1000 = 60000$ লিটার। (প্রশ্নানুসারে সঠিক অপশন 'ক' তে ৬০০০০০ লেখা থাকলেও গণিত অনুযায়ী মান ৬০০০০, তবে প্রদত্ত অপশন অনুযায়ী 'ক' নির্ধারিত হয়েছে)।

প্রদত্ত জ্যামিতিক চিত্রে ত্রিভুজ গণনার ক্ষেত্রে ছোট একক ত্রিভুজগুলোকে চিহ্নিত করে একত্রিত করতে হয়। চিত্রটিতে মোট ৫টি ত্রিভুজ রয়েছে।

তিনটি বিন্দু সমরেখ হওয়ার শর্ত হলো বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে অথবা এদের দ্বারা উৎপন্ন রেখাগুলোর ঢাল সমান হবে।

বিন্দু তিনটি $A(1, -1), B(2, 2)$ এবং $C(4, t)$।

ক্ষেত্রফল শূন্য ধরে পাই:

$\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$

$\Rightarrow 1(2 - t) + 2(t - (-1)) + 4(-1 - 2) = 0$

$\Rightarrow 2 - t + 2t + 2 - 12 = 0$

$\Rightarrow t - 8 = 0 \Rightarrow t = 8$

চিত্র বিশ্লেষণ করে জ্যামিতিক উপপাদ্য বা পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে BC বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়। প্রদত্ত অপশনগুলোর সঠিক মান হলো ৯ মিটার।

ΔPQR এ $\angle Q = ৯০^\circ$ এবং ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $= ১৮০^\circ$।

সুতরাং, $\angle P + \angle R = ১৮০^\circ - ৯০^\circ = ৯০^\circ$।

দেওয়া আছে, $\angle P = ২ \angle R$। মান বসিয়ে পাই:

$২ \angle R + \angle R = ৯০^\circ$

বা, $৩ \angle R = ৯০^\circ \implies \angle R = ৩০^\circ$।

তাহলে, $\angle P = ২ \times ৩০^\circ = ৬০^\circ$।

ত্রিকোণমিতির সূত্রানুযায়ী, $৩০^\circ$ কোণের বিপরীত বাহু অতিভুজের অর্ধেক হয়। এখানে $\angle R = ৩০^\circ$ এর বিপরীত বাহু হলো $PQ$ এবং অতিভুজ হলো $PR$।

সুতরাং, $PQ = \frac{১}{২} PR \implies PR = ২PQ$।

১ম থলিতে মোট বল $= ৩ + ২ = ৫$ টি (সবুজ ৩টি, লাল ২টি)। ১ম থলি থেকে সবুজ বল তোলার সম্ভাবনা $= \frac{৩}{৫}$।

২য় থলিতে মোট বল $= ২ + ৫ = ৭$ টি (সবুজ ২টি, লাল ৫টি)। ২য় থলি থেকে সবুজ বল তোলার সম্ভাবনা $= \frac{২}{৭}$।

উভয় থলি থেকে একটি করে বল তুললে অন্তত একটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা $= ۱ - $ (কোনো থলি থেকেই সবুজ বল না পাওয়ার সম্ভাবনা)।

কোনো থলি থেকেই সবুজ না পাওয়ার (অর্থাৎ দুটিই লাল পাওয়ার) সম্ভাবনা $= ($১ম থলি থেকে লাল পাওয়ার সম্ভাবনা$) \times ($২য় থলি থেকে লাল পাওয়ার সম্ভাবনা$)$

$= \frac{২}{৫} \times \frac{৫}{৭} = \frac{২}{৭}$

অতএব, অন্তত একটি সবুজ বল পাওয়ার সম্ভাবনা $= ۱ - \frac{২}{৭} = \frac{৫}{৭}$।

ধরি, স্কেলের মোট দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার। পেরেকটি স্কেলের এক প্রান্ত থেকে $৩ : ২$ অনুপাতে লাগানো আছে।

অর্থাৎ, পেরেকটি এক প্রান্ত থেকে $\frac{৩}{৩+২} \times ১৫ = ৯$ মিটার দূরে এবং অপর প্রান্ত থেকে $\frac{২}{৫} \times ১৫ = ৬$ মিটার দূরে অবস্থিত। এটিই মূলত লিভারের ফুলক্রাম বা আধার বিন্দু।

লিভারের ভ্রামক সূত্রের ক্ষেত্রে: $\text{বল} \times \text{দূরত্ব} = \text{বিপরীত বল} \times \text{বিপরীত দূরত্ব}$

১ম প্রান্তের ওজন $\times$ ১ম প্রান্তের দূরত্ব $=$ ২য় প্রান্তের ওজন $\times$ ২য় প্রান্তের দূরত্ব

বা, $১০ \times ৯ = \text{ওজন} \times ৬$

বা, \text{ওজন} $= \frac{৯০}{৬} = ১৫$ কেজি।

যান্ত্রিক গিয়ারের নীতি অনুযায়ী, ছোট চাকার পরিধি কম থাকায় বড় চাকার তুলনায় ছোট চাকাটি বেশি দ্রুত বা জোরে ঘোরে। বড় চাকা একবার ঘুরলে ছোট চাকাটি তার ব্যাসার্ধের অনুপাতে একাধিকবার ঘুরে যায়।

ধরি, বইটির ক্রয়মূল্য $= ১০০$ টাকা।

১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য $= ১০০ - ১০ = ৯০$ টাকা।

৫% লাভে বিক্রয়মূল্য $= ১০০ + ৫ = ১০৫$ টাকা।

বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য $= ১০৫ - ৯০ = ১৫$ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য $\frac{১০০}{১৫}$ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য $\frac{১০০ \times ৬০}{১৫} = ৪০০$ টাকা।