চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

দ্বিঘাত রাশি $ax^2 + bx + c$ এর চরম মান (সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন) নির্ণয়ের সূত্র হলো: $\frac{4ac - b^2}{4a}$

এখানে রাশিটি হলো: $2x^2 + 3x + 1$

তুলনা করে পাই, $a = 2, b = 3, c = 1$ (যেহেতু $a > 0$, তাই রাশির সর্বনিম্ন বা ক্ষুদ্রতম মান থাকবে)।

ক্ষুদ্রতম মান = $\frac{4(2)(1) - (3)^2}{4(2)} = \frac{8 - 9}{8} = -\frac{1}{8}$

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) অনুসারে, কোনো বহুপদী $f(x)$ কে $(x - a)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $f(a)$।

এখানে, $f(x) = x^4 - 2x + 1$ এবং ভাজক $x - 3$, অর্থাৎ $a = 3$।

ভাগশেষ = $f(3) = (3)^4 - 2(3) + 1$

$= 81 - 6 + 1$

$= 76$

দেওয়া আছে, $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ এবং $\frac{b}{c} = \frac{2}{3}$

আমাদের $a : c$ অর্থাৎ $\frac{a}{c}$ এর মান বের করতে হবে।

$\frac{a}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c}$

$\frac{a}{c} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

অতএব, $a : c = 4 : 9$

40 থেকে 50 এর মধ্যে মোট সংখ্যা রয়েছে: $50 - 40 + 1 = 11$ টি (সংখ্যাগুলো হলো: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50)।

এই সীমার মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 41, 43, 47 (মোট 3 টি)।

মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{অনুকূল ফলাফল}}{\text{মোট সম্ভাব্য ফলাফল}} = \frac{3}{11}$

লগারিদম এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:

$\log_x 324 = 4$

$\implies x^4 = 324$

এখন বিকল্প পরীক্ষা করে অথবা উভয় পাশে চতুর্থ মূল (4th root) করে পাই:

$x = \sqrt[4]{324} = \sqrt[4]{18^2} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

পরীক্ষা করে দেখি: $(3\sqrt{2})^4 = 3^4 \times (\sqrt{2})^4 = 81 \times 4 = 324$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$ বা $\pi$ রেডিয়ান।

প্রশ্নমতে, $x + \frac{x}{2} + \frac{3x}{2} = \pi$

বা, $\frac{2x + x + 3x}{2} = \pi$

বা, $\frac{6x}{2} = \pi$

বা, $3x = \pi \implies x = \frac{\pi}{3}$

তিনটি কোণের মান:

১ম কোণ = $x = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

২য় কোণ = $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} = 30^\circ$

৩য় কোণ = $\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$

ক্ষুদ্রতম কোণ হলো $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6}$

ভগ্নাংশের ল.সা.গু নির্ণয়ের সূত্র:

$\text{ল.সা.গু} = \frac{\text{লবগুলোর ল.সা.গু}}{\text{হরগুলোর গ.সা.গু}}$

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো হলো: $\frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{6}{15}$

এখানে শেষের ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করলে হয়: $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

তাহলে ভগ্নাংশগুলো হলো: $\frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{2}{5}$

লবগুলোর ল.সা.গু: $(2, 3, 2)$ এর ল.সা.গু = $6$

হরগুলোর গ.সা.গু: $(5, 5, 5)$ এর গ.সা.গু = $5$

অতএব, নির্ণেয় ল.সা.গু = $\frac{6}{5}$

প্রথমে সংখ্যাগুলোর গড় নির্ণй করি:

গড় $(\mu) = \frac{2 + 3 + 4 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$

গড় বিচ্যুতি (Mean Deviation from Mean) নির্ণয়ের সূত্র: $\frac{\sum |x_i - \mu|}{n}$

প্রতিটি সংখ্যার সাথে গড়ের পার্থক্যের পরম মান:

$|2 - 4| = 2$

$|3 - 4| = 1$

$|4 - 4| = 0$

$|7 - 4| = 3$

যোগফল = $2 + 1 + 0 + 3 = 6$

অতএব, গড় বিচ্যুতি = $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$