চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

দুটি সরলরেখা $a_১x + b_১y + c_১ = 0$ এবং $a_২x + b_২y + c_২ = 0$ পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢাল সমান হওয়া, অর্থাৎ: $$\frac{a_১}{a_২} = \frac{b_১}{b_২} \neq \frac{c_১}{c_২}$$

এখানে সমীকরণদ্বয়: $৫x + ৪y - ১ = 0$ এবং $২x + Ky - ৭ = 0$

সুতরাং $a_১ = ৫, b_১ = ৪$ এবং $a_২ = ২, b_২ = K$। শর্তানুসারে: $$\frac{৫}{২} = \frac{৪}{K} \implies ৫K = ৮ \implies K = \mathbf{\frac{৮}{৫}}$$

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x² - (p + q)x + pq = 0

এই সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে আমরা পাই:

x² - px - qx + pq = 0

x(x - p) - q(x - p) = 0

(x - p)(x - q) = 0

সুতরাং, হয় x - p = 0 অথবা x - q = 0

অতএব, x = p অথবা x = q

সুতরাং, সমাধান সেট হবে {p, q}।

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

$\left(x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}\right)^7$

ভেতরের অংশটিকে $(a - b)^2$ সূত্রে সাজালে পাই:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2$

সুতরাং মূল রাশিটি দাঁড়ায়:

$\left[\left(x - \frac{1}{x}\right)^2\right]^7 = \left(x - \frac{1}{x}\right)^{14}$

এখানে ঘাত $n = 14$, যা একটি জোড় সংখ্যা।

সুতরাং বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি হবে:

$\left(\frac{n}{2} + 1\right)$ তম পদ

$\implies \left(\frac{14}{2} + 1\right)$ তম পদ

$\implies (7 + 1)$ তম পদ বা $8$ তম পদ

অতএব, নির্ণেয় মধ্যপদটি হবে: ৮ম পদ

ধרי, আসল $= P$ এবং সুদের হার $= r$।

প্রশ্নমতে, ১০ বছরে চক্রবৃদ্ধি মূলে দ্বিগুণ হয়, অর্থাৎ $A = 2P$।

আমরা জানি, চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র:

$A = P(1 + r)^n$

বা, $2P = P(1 + r)^{10}$

বা, $(1 + r)^{10} = 2$

উভয়পক্ষে লগারিদম নিয়ে পাই,

$10 \log(1 + r) = \log(2)$

বা, $\log(1 + r) = \frac{0.30103}{10} = 0.030103$

বা, $1 + r = ext{antilog}(0.030103) = 1.07177$

বা, $r = 1.07177 - 1 = 0.07177$ বা প্রায় $7.17\%$।

অসমতা বা মডুলাসের নিয়ম অনুযায়ী:

$|3x - 1| < 2$

$\implies -2 < 3x - 1 < 2$

এখন পুরো অসমতার সাথে $1$ যোগ করি:

$-2 + 1 < 3x < 2 + 1$

$\implies -1 < 3x < 3$

এখন পুরো অসমতাকে $3$ দ্বারা ভাগ করি:

$-\frac{1}{3} < x < 1$

অতএব, সমাধান সেট হবে: $\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$

দেওয়া আছে, সেট $A = \{x : x \text{ স্বাভাবিক সংখ্যা এবং } x \le 5\}$

তাহলে, তালিকা পদ্ধতিতে সেটটি হবে: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

সেট $A$-এর উপাদান সংখ্যা, $n(A) = 5$

আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হলে, তার শক্তি সেট বা পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা হয় $2^n$।

অতএব, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা = $2^5 = 32$

দ্বিঘাত রাশি $ax^2 + bx + c$ এর চরম মান (সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন) নির্ণয়ের সূত্র হলো: $\frac{4ac - b^2}{4a}$

এখানে রাশিটি হলো: $2x^2 + 3x + 1$

তুলনা করে পাই, $a = 2, b = 3, c = 1$ (যেহেতু $a > 0$, তাই রাশির সর্বনিম্ন বা ক্ষুদ্রতম মান থাকবে)।

ক্ষুদ্রতম মান = $\frac{4(2)(1) - (3)^2}{4(2)} = \frac{8 - 9}{8} = -\frac{1}{8}$

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) অনুসারে, কোনো বহুপদী $f(x)$ কে $(x - a)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $f(a)$।

এখানে, $f(x) = x^4 - 2x + 1$ এবং ভাজক $x - 3$, অর্থাৎ $a = 3$।

ভাগশেষ = $f(3) = (3)^4 - 2(3) + 1$

$= 81 - 6 + 1$

$= 76$

দেওয়া আছে, $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ এবং $\frac{b}{c} = \frac{2}{3}$

আমাদের $a : c$ অর্থাৎ $\frac{a}{c}$ এর মান বের করতে হবে।

$\frac{a}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c}$

$\frac{a}{c} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

অতএব, $a : c = 4 : 9$

40 থেকে 50 এর মধ্যে মোট সংখ্যা রয়েছে: $50 - 40 + 1 = 11$ টি (সংখ্যাগুলো হলো: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50)।

এই সীমার মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 41, 43, 47 (মোট 3 টি)।

মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{অনুকূল ফলাফল}}{\text{মোট সম্ভাব্য ফলাফল}} = \frac{3}{11}$

লগারিদম এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:

$\log_x 324 = 4$

$\implies x^4 = 324$

এখন বিকল্প পরীক্ষা করে অথবা উভয় পাশে চতুর্থ মূল (4th root) করে পাই:

$x = \sqrt[4]{324} = \sqrt[4]{18^2} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

পরীক্ষা করে দেখি: $(3\sqrt{2})^4 = 3^4 \times (\sqrt{2})^4 = 81 \times 4 = 324$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$ বা $\pi$ রেডিয়ান।

প্রশ্নমতে, $x + \frac{x}{2} + \frac{3x}{2} = \pi$

বা, $\frac{2x + x + 3x}{2} = \pi$

বা, $\frac{6x}{2} = \pi$

বা, $3x = \pi \implies x = \frac{\pi}{3}$

তিনটি কোণের মান:

১ম কোণ = $x = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

২য় কোণ = $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} = 30^\circ$

৩য় কোণ = $\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$

ক্ষুদ্রতম কোণ হলো $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6}$