চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

প্রশ্নানুসারে পরিধি হলো $2\pi r$ এবং ব্যাসার্ধ হলো $r$। অনুপাত = $2\pi r : r$ = $2\pi : 1$। তবে এখানে সঠিক অপশনটি খেয়াল করলে পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত বা অপশনের সাপেক্ষে সঠিক মান নির্ধারিত হয়। যদি প্রশ্নটি পরিধি ও ব্যাসের হতো তবে $\pi$ হতো। তবে প্রদত্ত অপশনগুলোর সাপেক্ষে সঠিক উত্তর '১' বা অন্য নির্দেশিত রূপ হতে পারে; তবে স্ট্যান্ডার্ড উত্তর হলো বৃত্তের পরিধি $2\pi r$ এবং ব্যাস $2r$ হলে অনুপাত $\pi : 1$ (অর্থাৎ অপশন অনুযায়ী পাই/অন্যান্য)।

দুটি কোণের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রি হলে তাদেরকে পূরক কোণ বলে। অনুপাত দেওয়া আছে ৩ : ৭। অনুপাত দুটির যোগফল = ৩ + ৭ = ১০। ছোট কোণটি হবে: ৯০° এর (৩/১০) অংশ = ৯০° × (৩/১০) = ২৭°।

গণিতের নিয়ম অনুযায়ী কোনো সংখ্যাকে শূন্য (0) দ্বারা ভাগ করলে তার ফল অসংজ্ঞায়িত হয়, যাকে অসীম বা ইনফিনিটি (∞) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

এখানে মান দেওয়া আছে a = 3 এবং b = 5। রাশিটি হলো (a + b)⁴। মান বসালে পাই: (3 + 5)⁴ = (8)⁴। আমরা জানি, 8¹ = 8, 8² = 64, 8³ = 512, এবং 8⁴ = 512 × 8 = 4096।

১ কিলোমিটার প্রায় ০.৬২ মাইলের সমান (সঠিকভাবে ১ কিমি = ০.৬২১৩৭ মাইল)। অপরপক্ষে, ১ মাইল = ১.৬০৯ কিলোমিটার।

বৃত্তের যে কোনো ব্যাস বৃত্তকে সমান দুটি অংশে বিভক্ত করে। জ্যামিতিক সংজ্ঞা অনুযায়ী, বৃত্তের পরিধির অর্ধেক বা বৃত্তের দুই ভাগের এক ভাগকে অর্ধবৃত্ত (Semicircle) বলা হয়।

একটি রাশি পূর্ণবর্গ হবে যদি তার নিশ্চায়ক (discriminant) শূন্য হয়। দ্বিঘাত রাশি ax2 + bx + c এর নিশ্চায়ক হলো b2 - 4ac।

এখানে, রাশিটি হলো kx2 + 3x + 4। সুতরাং, a = k, b = 3, এবং c = 4।

নিশ্চায়ক শূন্য হলে:

b2 - 4ac = 0

(3)2 - 4(k)(4) = 0

9 - 16k = 0

16k = 9

k = 9/16

কিন্তু প্রশ্নটি একটু ভিন্নভাবে করা হয়েছে। যদি রাশিটি পূর্ণবর্গ হয়, তবে এটি (px + q)2 বা (px - q)2 আকারে প্রকাশ করা যাবে।

kx2 + 3x + 4 কে পূর্ণবর্গ হতে হলে, x2 এর সহগ k এমন হতে হবে যেন পুরো রাশিটি একটি পারফেক্ট স্কয়ার হয়।

যদি আমরা এটিকে (Ax + B)2 = A2x2 + 2ABx + B2 এর সাথে তুলনা করি:

A2 = k

2AB = 3

B2 = 4

B = ±2

যদি B = 2 হয়, তবে 2A(2) = 3 => 4A = 3 => A = 3/4।

তাহলে, k = A2 = (3/4)2 = 9/16।

যদি B = -2 হয়, তবে 2A(-2) = 3 => -4A = 3 => A = -3/4।

তাহলে, k = A2 = (-3/4)2 = 9/16।

সুতরাং, k এর মান 9/16 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

তবে, প্রশ্নে প্রদত্ত বিকল্পগুলিতে 9/16 নেই। বিকল্পগুলি দেখে মনে হচ্ছে প্রশ্নটি আসলে 4x2 + 3x + k বা kx2 + 4x + 3 ধরণের কিছু হতে পারে, অথবা প্রশ্নটি ax2 + bx + c এর নিশ্চায়ক শূন্য হওয়ার শর্তের উপর ভিত্তি করে তৈরি, যেখানে k অন্য কোনো স্থানে আছে।

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 4x2 + 3x + k রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

a = 4, b = 3, c = k

b2 - 4ac = 0

(3)2 - 4(4)(k) = 0

9 - 16k = 0

16k = 9

k = 9/16

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: kx2 + 4x + 3 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

a = k, b = 4, c = 3

b2 - 4ac = 0

(4)2 - 4(k)(3) = 0

16 - 12k = 0

12k = 16

k = 16/12 = 4/3

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 3x2 + kx + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

a = 3, b = k, c = 4

b2 - 4ac = 0

(k)2 - 4(3)(4) = 0

k2 - 48 = 0

k2 = 48

k = ±√48 = ±4√3

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 4x2 + kx + 3 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

a = 4, b = k, c = 3

b2 - 4ac = 0

(k)2 - 4(4)(3) = 0

k2 - 48 = 0

k2 = 48

k = ±√48 = ±4√3

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 3x2 + 4x + k রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

a = 3, b = 4, c = k

b2 - 4ac = 0

(4)2 - 4(3)(k) = 0

16 - 12k = 0

12k = 16

k = 16/12 = 4/3

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: kx2 + 3x + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে এবং k এর মান ঋণাত্মক হবে?

a = k, b = 3, c = 4

b2 - 4ac = 0

(3)2 - 4(k)(4) = 0

9 - 16k = 0

16k = 9

k = 9/16 (এটি ধনাত্মক)

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 4x2 + 3x + k রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে এবং k এর মান ঋণাত্মক হবে?

a = 4, b = 3, c = k

b2 - 4ac = 0

(3)2 - 4(4)(k) = 0

9 - 16k = 0

16k = 9

k = 9/16 (এটি ধনাত্মক)

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: kx2 + 3x - 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

a = k, b = 3, c = -4

b2 - 4ac = 0

(3)2 - 4(k)(-4) = 0

9 + 16k = 0

16k = -9

k = -9/16

এই ক্ষেত্রে, k এর মান -9/16 হবে, যা বিকল্প (খ) এর সাথে মিলে যায়।

সুতরাং, ধরে নেওয়া হচ্ছে প্রশ্নটি আসলে kx2 + 3x - 4 রাশিটির পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত জানতে চেয়েছে, অথবা প্রশ্নে একটি মুদ্রণ ত্রুটি রয়েছে।

প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে, k = -9/16 হলে kx2 + 3x - 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

দেওয়া আছে, $x : y = 4 : 3$
এবং $y : z = 5 : 4$
অনুপাত দুটিকে একত্র করতে হবে।
$x : y = 4 : 3 = (4 \times 5) : (3 \times 5) = 20 : 15$
$y : z = 5 : 4 = (5 \times 3) : (4 \times 3) = 15 : 12$
অতএব, $x : y : z = 20 : 15 : 12$
ধরি, $x = 20k$, $y = 15k$, $z = 12k$
দেওয়া আছে, $x = 200$
সুতরাং, $20k = 200 \R→ k = 10$
তাহলে, $z = 12k = 12 \times 10 = 120$

প্রথম সরলরেখা: $x - 2y - 10 = 0$
এটিকে $y = mx + c$ আকারে সাজালে পাই, $2y = x - 10 \R→ y = \frac{1}{2}x - 5$
এর ঢাল, $m_1 = \frac{1}{2}$ (অথবা সরাসরি সূত্র $-\frac{x-\text{এর সহগ}}{y-\text{এর সহগ}} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$)

দ্বিতীয় সরলরেখা: $2x + y - 3 = 0$
এর ঢাল, $m_2 = -\frac{2}{1} = -2$

ঢালদ্বয়ের গুণফল = $m_1 \times m_2 = \frac{1}{2} \times (-2) = -1$

প্রদত্ত অনুক্রমটি লক্ষ্য করলে দেখা যায় এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যার একটি ধারা:
$1 = 1^2$
$4 = 2^2$
$9 = 3^2$
$16 = 4^2$
$25 = 5^2$
সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যাটি হবে ৬ষ্ঠ পদ অর্থাৎ $6^2 = 36$।

প্রদত্ত অসমতাটি হলো: $|3x - 4| \le 2$
পরমমানের সংজ্ঞা অনুযায়ী, $-2 \le 3x - 4 \le 2$
এখন সব পক্ষে $4$ যোগ করে পাই:
$-2 + 4 \le 3x \le 2 + 4$
$\R→ 2 \le 3x \le 6$
এখন ৩ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{2}{3} \le x \le 2$

প্রদত্ত সংখ্যাটি হলো $\sqrt{\frac{9}{4}}$।
আমরা জানি, $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5$
যেহেতু সংখ্যাটিকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত বা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় ($p/q$ আকারে, যেখানে $q \neq 0$), তাই এটি একটি মূলদ সংখ্যা (Rational Number)।