চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:

(1) $ax + by = a^2$

(2) $bx - ay = ab$

সমীকরণ (1)-কে $a$ দ্বারা এবং সমীকরণ (2)-কে $b$ দ্বারা গুণ করে যোগ করি:

$a(ax + by) = a^3 \implies a^2x + aby = a^3$

$b(bx - ay) = b(ab) \implies b^2x - aby = ab^2$

যোগ করে পাই: $a^2x + b^2x = a^3 + ab^2$

বা, $x(a^2 + b^2) = a(a^2 + b^2)$

∴ x = a$

এখন $x = a$ এর মান সমীকরণ (1)-এ বসাই:

$a(a) + by = a^2$

বা, $a^2 + by = a^2$

বা, $by = 0$

∴ y = 0$

সমাধান $(x, y) = (a, 0)$।

দেওয়া আছে, $M = \{a, b, 1, 2\}$ এবং $N = \{1, 2\}$

আমাদের নির্ণয় করতে হবে $N - M$ (সেট অন্তর বা Difference of sets)।

সেট অন্তরের নিয়ম হলো, $N - M$ সেটে কেবল সেই উপাদানগুলো থাকবে যা সেট $N$-এ আছে কিন্তু সেট $M$-এ নেই।

এখানে $N$-এর উপাদান {1, 2} সবই $M$-সেটে বিদ্যমান।

∴ N - M = \{1, 2\} - \{a, b, 1, 2\} = \{ \} = \emptyset$ (ফাঁকা সেট)।

বাক্সে মোট বল রয়েছে:

লাল = ৮টি

নীল = ৩টি

হলুদ = ২টি

সবুজ = ১টি

নিশ্চিতভাবে কমপক্ষে একটি লাল বল পাওয়ার জন্য আমাদের 'Worst Case' বা সবচেয়ে প্রতিকূল পরিস্থিতি বিবেচনা করতে হবে। অর্থাৎ, প্রথম দফায় যদি ভাগ্য খারাপ থাকে তবে লাল বাদে বাকী সব বল একে একে উঠে আসতে পারে।

লাল বাদে অন্যান্য বলের সংখ্যা = ৩ + ২ + ১ = ৬টি।

এই ৬টি বল তোলার পর বাক্সে আর কেবল লাল বলগুলোই থাকবে। সুতরাং, পরবর্তী অর্থাৎ ৭ম বলটি তুললে নিশ্চিতভাবেই তা লাল বল হবে।

∴ কমপক্ষে ৭টি বল তুলতে হবে।

প্রদত্ত অসমতা: $x^2 + 6x - 27 < 0$

মিডল টার্ম ব্রেক করে পাই:

$x^2 + 9x - 3x - 27 < 0$

বা, $x(x + 9) - 3(x + 9) < 0$

বা, $(x + 9)(x - 3) < 0$

অসমতার নিয়ম অনুযায়ী, যদি $(x - a)(x - b) < 0$ হয় (যেখানে $a < b$), তবে সমাধান হবে $a < x < b$।

এখানে, $-9 < x < 3$, যা ইন্টারভাল বা ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: $(-9, 3)$।

ধري، সমান্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, $n$-তম পদ = $a + (n - 1)d$

৪র্থ পদ = $a + 3d$ এবং ১২তম পদ = $a + 11d$

প্রশ্নমতে, $(a + 3d) + (a + 11d) = 20$

বা, $2a + 14d = 20$

বা, $a + 7d = 10$ --- (১)

এখন, প্রথম ১৫ পদের সমষ্টি $S_{15} = \frac{15}{2} \{2a + (15 - 1)d\} = \frac{15}{2} (2a + 14d) = 15 \times (a + 7d)$

সমীকরণ (১) থেকে মান বসিয়ে পাই,

$S_{15} = 15 \times 10 = 150$

ধরি, দ্বিতীয় কোণটি = $x$

তাহলে, প্রথম কোণ = $\frac{x}{2}$

প্রশ্নমতে, তৃতীয় কোণ = $3 \times (\text{প্রথম কোণ} - \text{দ্বিতীয় কোণ})$ = $3 \times (x - \frac{x}{2}) = 3 \times \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

∴ \frac{x}{2} + x + \frac{3x}{2} = 180^{\circ}$

বা, $\frac{x + 2x + 3x}{2} = 180^{\circ}$

বা, $\frac{6x}{2} = 180^{\circ}$

বা, $3x = 180^{\circ}$

∴ x = 60^{\circ}$

দেওয়া আছে, $\log_x 4 = -2$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, $x^{-2} = 4$

বা, $\frac{1}{x^2} = 4$

বা, $4x^2 = 1$

বা, $x^2 = \frac{1}{4}$

∴ x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$

যেহেতু লগারিদমের ভিত্তি ($x$) ঋণাত্মক বা ১ হতে পারে না, তাই $x = \frac{1}{2}$।

বড় গোলকের ব্যাসার্ধ = $R$ হলে, বড় গোলকের আয়তন $V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3$

ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ $r = \frac{R}{2}$ হলে, একটি ছোট গোলকের আয়তন $V_2 = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{8}$

ছোট গোলকের সংখ্যা = $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{8}} = 8$ টি।

দেওয়া আছে, ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $6a^2 = 48$

বা, $a^2 = \frac{48}{6} = 8$

বা, বাহু $a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ মিটার

আমরা জানি, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{3}a$

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} = 2\sqrt{6}$ মিটার।

শ্রেণীতে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র: $\text{সামনের অবস্থান} + \text{পেছনের অবস্থান} - ১$। সুতরাং মোট শিক্ষার্থী = $৯ + ৩৬ - ১ = ৪৪$ জন।

প্রদত্ত সংখ্যা তিনটির গুণফল নির্ণয়ের জন্য প্রথমে দশমিক বাদে সংখ্যাগুলো গুণ করতে হবে: $5\times 5\times 5=125$। এখন গুণ্য ও গুণকগুলোতে মোট দশমিকের পরের ঘরের সংখ্যা হিসাব করতে হবে। প্রথম সংখ্যা ০.৫ এ ১ ঘর, দ্বিতীয় সংখ্যা ০.০৫ এ ২ ঘর এবং তৃতীয় সংখ্যা ০.০০৫ এ ৩ ঘর—সব মিলিয়ে দশমিকের পরে মোট $1+2+3=6$ ঘর থাকতে হবে। অতএব, গুণফলে ডানদিক থেকে ৬ ঘর পর দশমিক বসাতে হবে। যেহেতু গুণফল ১২৫ (৩ অঙ্কবিশিষ্ট), তাই এর বামে তিনটি শূন্য বসিয়ে ৬ ঘর পূর্ণ করতে হবে। ফলে মান দাঁড়ায় ০.০০০১২৫। সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ঘ।

ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটা ১২ ঘণ্টায় ১১ বার একে অপরের সাথে মিলিত হয়। সুতরাং ২৪ ঘণ্টা বা একদিনে তারা মোট $11 \times 2 = 22$ বার মিলিত হয়।