চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

একটি সেট A এর উপসেট হলো এমন একটি সেট যার সকল সদস্য A এর সদস্য। প্রকৃত উপসেট (proper subset) হলো সেই উপসেট যা মূল সেটের সমান নয়।

প্রদত্ত সেটটি হলো S = {2, 3, 4}।

এই সেটের মোট উপসেট সংখ্যা হলো 2ⁿ, যেখানে n হলো সেটের সদস্য সংখ্যা। এখানে n = 3।

সুতরাং, মোট উপসেট সংখ্যা = 2³ = 8।

উপসেটগুলি হলো: {}, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4}।

প্রকৃত উপসেট হলো সেইগুলি যা মূল সেটের সমান নয়। অর্থাৎ, {2, 3, 4} বাদ দিয়ে বাকি সব উপসেট।

সুতরাং, প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = মোট উপসেট সংখ্যা - 1 = 8 - 1 = 7।

প্রদত্ত সমীকরণ: $x + \frac{১}{x} = 0$

আমরা জানি, $$\left(\sqrt{x} + \frac{১}{\sqrt{x}}\right)^২ = (\sqrt{x})^২ + ২(\sqrt{x})\left(\frac{১}{\sqrt{x}}\right) + \left(\frac{১}{\sqrt{x}}\right)^২$$

$$= x + ২ + \frac{১}{x} = \left(x + \frac{১}{x}\right) + ২$$

যেহেতু $x + \frac{১}{x} = 0$, তাই: $$\left(\sqrt{x} + \frac{১}{\sqrt{x}}\right)^২ = 0 + ২ = ২$$

উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই: $$\sqrt{x} + \frac{১}{\sqrt{x}} = \mathbf{\pm\sqrt{২}}$$ (ধনাত্মক মান বিবেচনা করলে $\mathbf{\sqrt{২}}$)।

চিত্রটিতে একটি সমকোণী ত্রিভুজ দেখানো হয়েছে। সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ (hypotenuse) হলো বৃহত্তম বাহু। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ, a² + b² = c², যেখানে c হলো অতিভুজ।

এখানে, দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 এবং 4 একক। আমরা অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব।

c² = 3² + 4²

c² = 9 + 16

c² = 25

c = √25 = 5

সুতরাং, ত্রিভুজটির বাহুগুলির দৈর্ঘ্য হলো 3, 4 এবং 5।

প্রদত্ত শর্ত হলো 0 < x < 1। এর মানে হলো x একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ যার মান 1 এর চেয়ে কম।

আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করি:

• x: এটি একটি ভগ্নাংশ যা 0 থেকে 1 এর মধ্যে।
• 2x: এটি x এর দ্বিগুণ। যেহেতু x < 1, তাই 2x < 2। তবে, যদি x = 0.6 হয়, তবে 2x = 1.2, যা x এর চেয়ে বড়। কিন্তু যদি x = 0.4 হয়, তবে 2x = 0.8, যা x এর চেয়ে বড়।
• x²: যেহেতু 0 < x < 1, তাই x² এর মান x এর চেয়ে ছোট হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি x = 0.5 হয়, তবে x² = 0.25।
• x + 1: যেহেতু x একটি ধনাত্মক সংখ্যা, তাই x + 1 সবসময় 1 এর চেয়ে বড় হবে এবং x এর চেয়েও বড় হবে।

প্রশ্নটি 'সবচেয়ে বড়' জানতে চেয়েছে। যেহেতু x < 1, তাই x + 1 সবসময় 1 এর চেয়ে বড় হবে এবং x এর চেয়েও বড় হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি x = 0.5 হয়, তবে x + 1 = 1.5, যা অন্য সব বিকল্পের চেয়ে বড়।

দুটি সরলরেখা $a_১x + b_১y + c_১ = 0$ এবং $a_২x + b_২y + c_২ = 0$ পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢাল সমান হওয়া, অর্থাৎ: $$\frac{a_১}{a_২} = \frac{b_১}{b_২} \neq \frac{c_১}{c_২}$$

এখানে সমীকরণদ্বয়: $৫x + ৪y - ১ = 0$ এবং $২x + Ky - ৭ = 0$

সুতরাং $a_১ = ৫, b_১ = ৪$ এবং $a_২ = ২, b_২ = K$। শর্তানুসারে: $$\frac{৫}{২} = \frac{৪}{K} \implies ৫K = ৮ \implies K = \mathbf{\frac{৮}{৫}}$$

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x² - (p + q)x + pq = 0

এই সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে আমরা পাই:

x² - px - qx + pq = 0

x(x - p) - q(x - p) = 0

(x - p)(x - q) = 0

সুতরাং, হয় x - p = 0 অথবা x - q = 0

অতএব, x = p অথবা x = q

সুতরাং, সমাধান সেট হবে {p, q}।

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

$\left(x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}\right)^7$

ভেতরের অংশটিকে $(a - b)^2$ সূত্রে সাজালে পাই:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2$

সুতরাং মূল রাশিটি দাঁড়ায়:

$\left[\left(x - \frac{1}{x}\right)^2\right]^7 = \left(x - \frac{1}{x}\right)^{14}$

এখানে ঘাত $n = 14$, যা একটি জোড় সংখ্যা।

সুতরাং বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি হবে:

$\left(\frac{n}{2} + 1\right)$ তম পদ

$\implies \left(\frac{14}{2} + 1\right)$ তম পদ

$\implies (7 + 1)$ তম পদ বা $8$ তম পদ

অতএব, নির্ণেয় মধ্যপদটি হবে: ৮ম পদ

ধרי, আসল $= P$ এবং সুদের হার $= r$।

প্রশ্নমতে, ১০ বছরে চক্রবৃদ্ধি মূলে দ্বিগুণ হয়, অর্থাৎ $A = 2P$।

আমরা জানি, চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র:

$A = P(1 + r)^n$

বা, $2P = P(1 + r)^{10}$

বা, $(1 + r)^{10} = 2$

উভয়পক্ষে লগারিদম নিয়ে পাই,

$10 \log(1 + r) = \log(2)$

বা, $\log(1 + r) = \frac{0.30103}{10} = 0.030103$

বা, $1 + r = \text{antilog}(0.030103) = 1.07177$

বা, $r = 1.07177 - 1 = 0.07177$ বা প্রায় $7.17\% $।

অসমতা বা মডুলাসের নিয়ম অনুযায়ী:

$|3x - 1| < 2$

$\implies -2 < 3x - 1 < 2$

এখন পুরো অসমতার সাথে $1$ যোগ করি:

$-2 + 1 < 3x < 2 + 1$

$\implies -1 < 3x < 3$

এখন পুরো অসমতাকে $3$ দ্বারা ভাগ করি:

$-\frac{1}{3} < x < 1$

অতএব, সমাধান সেট হবে: $\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$

দেওয়া আছে, সেট $A = \{x : x \text{ স্বাভাবিক সংখ্যা এবং } x \le 5\}$

তাহলে, তালিকা পদ্ধতিতে সেটটি হবে: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

সেট $A$-এর উপাদান সংখ্যা, $n(A) = 5$

আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হলে, তার শক্তি সেট বা পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা হয় $2^n$।

অতএব, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা = $2^5 = 32$

দ্বিঘাত রাশি $ax^2 + bx + c$ এর চরম মান (সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন) নির্ণয়ের সূত্র হলো: $\frac{4ac - b^2}{4a}$

এখানে রাশিটি হলো: $2x^2 + 3x + 1$

তুলনা করে পাই, $a = 2, b = 3, c = 1$ (যেহেতু $a > 0$, তাই রাশির সর্বনিম্ন বা ক্ষুদ্রতম মান থাকবে)।

ক্ষুদ্রতম মান = $\frac{4(2)(1) - (3)^2}{4(2)} = \frac{8 - 9}{8} = -\frac{1}{8}$

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) অনুসারে, কোনো বহুপদী $f(x)$ কে $(x - a)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $f(a)$।

এখানে, $f(x) = x^4 - 2x + 1$ এবং ভাজক $x - 3$, অর্থাৎ $a = 3$।

ভাগশেষ = $f(3) = (3)^4 - 2(3) + 1$

$= 81 - 6 + 1$

$= 76$