বিডিনিয়োগ .com
চাকরি ও ক্যারিয়ার প্রস্তুতি পোর্টাল

গণিত শর্টকাট সূত্র চিটশিট

বিসিএস, প্রাথমিক ও ব্যাংক স্পেশাল

চাকরি পরীক্ষার গণিত অংশের সবচেয়ে প্রয়োজনীয় ও বারবার আসা শর্টকাট টেকনিক, বিগত পরীক্ষার বাস্তব সমাধান ও লাইভ ফর্মুলা ক্যালকুলেটর।

49টি সূত্র প্রদর্শিত হচ্ছে 💡 টিপস: প্রতিটি সূত্রের নিচে লাইভ ক্যালকুলেটরে সংখ্যা বসিয়ে তাৎক্ষণিক সমাধান দেখুন
শতকরা পাটিগণিত

মূল্য বৃদ্ধিতে খরচ অপরিবর্তিত রাখতে ব্যবহার হ্রাস

⚡ শর্টকাট সূত্র:
ব্যবহার কমাতে হবে = [ r / (১০০ + r) ] × ১০০%
সংক্ষিপ্ত রূপ: ব্যবহার হ্রাস% = [ r / (১০০ + r) ] × ১০০%
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: কোনো দ্রব্যের মূল্য r% বৃদ্ধি পেলে খরচ না বাড়িয়ে দ্রব্যের ব্যবহার শতকরা কত কমাতে হবে।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

চিনির মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পেলে ব্যবহার কমাতে হবে = [ ২৫ / (১০০ + ২৫) ] × ১০০% = ২০%।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: ২৫% বৃদ্ধি পেলে কমে ২০%, ২০% বৃদ্ধি পেলে কমে ১৬.৬৭%।
🖩 লাইভ ক্যালকুলেটর: মান বসিয়ে টেস্ট করুন
ব্যবহার কমাতে হবে:
২০.০০%
শতকরা পাটিগণিত

মূল্য হ্রাসে খরচ অপরিবর্তিত রাখতে ব্যবহার বৃদ্ধি

⚡ শর্টকাট সূত্র:
ব্যবহার বাড়াতে হবে = [ r / (১০০ - r) ] × ১০০%
সংক্ষিপ্ত রূপ: ব্যবহার বৃদ্ধি% = [ r / (১০০ - r) ] × ১০০%
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: পণ্যের মূল্য r% কমে গেলে খরচ একই রাখতে ব্যবহার শতকরা কত বাড়ানো যাবে।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

কাপড়ের মূল্য ২০% কমলে ব্যবহার বাড়ানো যাবে = [ ২০ / (১০০ - ২০) ] × ১০০% = ২৫%।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: মূল্য বাড়লে নিচে (১০০ + r), কমলে নিচে (১০০ - r)।
শতকরা ও পরিমিতি পাটিগণিত

ধারাবাহিক শতকরা পরিবর্তন (আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শর্টকাট)

⚡ শর্টকাট সূত্র:
মোট পরিবর্তন = [ A + B + (A × B / ১০০) ]%
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: পরপর দুইবার শতকরা পরিবর্তন হলে। বৃদ্ধি পেলে (+) এবং হ্রাস পেলে (-) চিহ্ন বসবে।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি ও প্রস্থ ১০% হ্রাস পেলে: ২০ + (-১০) + [ (২০ × -১০) / ১০০ ] = ১০ - ২ = +৮% (বৃদ্ধি)।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: বর্গক্ষেত্রের বাহু x% বাড়লে ক্ষেত্রফল বাড়ে: [ ২x + (x² / ১০০) ]%।
লাভ ও ক্ষতি পাটিগণিত

শতকরা লাভ ও ক্ষতির মৌলিক সূত্র

⚡ শর্টকাট সূত্র:
শতকরা লাভ = (মোট লাভ / ক্রয়মূল্য) × ১০০% | শতকরা ক্ষতি = (মোট ক্ষতি / ক্রয়মূল্য) × ১০০%
সংক্ষিপ্ত রূপ: শতকরা লাভ = (লাভ / ক্রয়মূল্য) × ১০০%; শতকরা ক্ষতি = (ক্ষতি / ক্রয়মূল্য) × ১০০%
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য; ক্ষতি = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য। লাভ বা ক্ষতি সর্বদা ক্রয়মূল্যের ওপর হিসাব করা হয়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

১০০ টাকায় কিনে ১২০ টাকায় বিক্রি করলে লাভ = (২০ / ১০০) × ১০০% = ২০%।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: লাভ বা ক্ষতি হিসাবের ভিত্তি সর্বদা "ক্রয়মূল্য"।
লাভ ও ক্ষতি পাটিগণিত

বিক্রয়মূল্য ও লাভের হার থেকে ক্রয়মূল্য নির্ণয়

⚡ শর্টকাট সূত্র:
ক্রয়মূল্য (লাভে) = [ বিক্রয়মূল্য × ১০০ ] / (১০০ + লাভ%) | ক্রয়মূল্য (ক্ষতিতে) = [ বিক্রয়মূল্য × ১০০ ] / (১০০ - ক্ষতি%)
সংক্ষিপ্ত রূপ: ক্রয়মূল্য = (বিক্রয়মূল্য × ১০০) / (১০০ ± লাভ/ক্ষতি%)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: লাভ হলে নিচে (১০০ + লাভ%) এবং ক্ষতি হলে নিচে (১০০ - ক্ষতি%)।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

একটি বই ১২০ টাকায় বিক্রি করায় ২০% লাভ হলে ক্রয়মূল্য = (১২০ × ১০০) / ১২০ = ১০০ টাকা।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য ১১০% হলে, ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য / ১.১।
লাভ ও ক্ষতি পাটিগণিত

টাকায় x টি কিনে টাকায় y টি বিক্রি করলে লাভ/ক্ষতি %

⚡ শর্টকাট সূত্র:
লাভ বা ক্ষতি% = [ (ক্রয় সংখ্যা - বিক্রয় সংখ্যা) / বিক্রয় সংখ্যা ] × ১০০%
সংক্ষিপ্ত রূপ: শতকরা লাভ/ক্ষতি = [ (x - y) / y ] × ১০০%
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: একই নির্দিষ্ট টাকায় x টি কিনে y টি বিক্রি করলে। মান ধনাত্মক হলে লাভ, ঋণাত্মক হলে ক্ষতি।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

টাকায় ৪টি কিনে টাকায় ৫টি বিক্রি করলে = [ (৪ - ৫) / ৫ ] × ১০০% = -২০% (২০% ক্ষতি)।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: হরে সবসময় "বিক্রয় সংখ্যা" (y) বসবে।
লাভ ও ক্ষতি পাটিগণিত

একই মূল্যে দুটি পণ্য বিক্রয়ে সমপরিমাণ লাভ ও ক্ষতি হলে

⚡ শর্টকাট সূত্র:
সর্বদা মোট ক্ষতি% = (x² / ১০০)%
সংক্ষিপ্ত রূপ: মোট ক্ষতি% = (x² / ১০০)%
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: দুটি পণ্যের বিক্রয়মূল্য সমান এবং একটিতে x% লাভ ও অপরটিতে x% ক্ষতি হলে মোটের ওপর সবসময় ক্ষতি হয়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

প্রতিটি ৯৯০ টাকায় বিক্রি করে একটিতে ১০% লাভ ও অন্যটিতে ১০% ক্ষতি হলে মোটের ওপর ক্ষতি = (১০² / ১০০)% = ১% ক্ষতি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: বিক্রয়মূল্যের সংখ্যাটি যাই হোক না কেন, শর্টকাট নিয়মে আসল টাকার প্রয়োজন পড়ে না।
সুদকষা (সরল সুদ) পাটিগণিত

সরল সুদের মৌলিক সূত্র ও সুদ-আসল

⚡ শর্টকাট সূত্র:
সুদ (I) = P × n × r | সুদ-আসল (A) = P × (১ + n × r)
সংক্ষিপ্ত রূপ: I = Pnr; A = P + I = P(1 + nr) (যেখানে P = আসল, n = বছর, r = সুদের হার)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: সুদের হার r = শতকরা হার / ১০০ (যেমন ৮% = ৮/১০০ = ০.০৮)।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

৫০০ টাকার ৪ বছরের ৮% হারে সুদ I = ৫০০ × ৪ × (৮/১০০) = ১৬০ টাকা।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: মাসিক হিসাব থাকলে বছর বানাতে মাসকে ১২ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
সুদকষা (সরল সুদ) পাটিগণিত

আসল সুদে-আসলে দ্বিগুণ / তিনগুণ হওয়ার সময় ও সুদের হার

⚡ শর্টকাট সূত্র:
সময় (বছর) = [ (গুণ - ১) × ১০০ ] / সুদের হার | সুদের হার% = [ (গুণ - ১) × ১০০ ] / সময়
সংক্ষিপ্ত রূপ: সময় = [ (গুণ - ১) × ১০০ ] / r; সুদের হার = [ (গুণ - ১) × ১০০ ] / n
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: দ্বিগুণ হলে উপরে ১০০, তিনগুণ হলে ২০০, চারগুণ হলে ৩০০ বসবে।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

সরল সুদে কোন মূলধন ৮ বছরে তিনগুণ হলে সুদের হার = [ (৩ - ১) × ১০০ ] / ৮ = ২০০ / ৮ = ২৫%।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: দ্বিগুণ হতে সময় চাইলে সরাসরি ১০০ কে সুদের হার দিয়ে ভাগ করুন।
চক্রবৃদ্ধি সুদ পাটিগণিত

চক্রবৃদ্ধি মূলধন ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার সূত্র

⚡ শর্টকাট সূত্র:
চক্রবৃদ্ধি মূলধন (C) = P × (১ + r)ⁿ | চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P = P [ (১ + r)ⁿ - ১ ]
সংক্ষিপ্ত রূপ: C = P(1 + r)^n; চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: প্রতি বছর শেষে অর্জিত মুনাফা আসলের সাথে যুক্ত হয়ে নতুন আসল গঠিত হয়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

১,০০০ টাকার ১০% হারে ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ১০০০ × (১ + ০.১)² = ১০০০ × ১.২১ = ১২১০ টাকা।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: মুনাফা বছরে একাধিকবার ধার্য হলে (যেমন অর্ধবার্ষিক), r কে ২ দিয়ে ভাগ এবং n কে ২ দিয়ে গুণ করতে হয়।
চক্রবৃদ্ধি ও সরল সুদ পাটিগণিত

২ বছরের চক্রবৃদ্ধি ও সরল সুদের পার্থক্যের শর্টকাট

⚡ শর্টকাট সূত্র:
পার্থক্য (D) = P × (r / ১০০)²
সংক্ষিপ্ত রূপ: পার্থক্য D = আসল × (r / ১০০)²
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: পরীক্ষায় ২ বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য দিয়ে আসল (P) বা সুদের হার (r) চাওয়া হয়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

১০% হারে ১,০০০ টাকার ২ বছরের সরল ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য = ১০০০ × (১০ / ১০০)² = ১০০০ × (১ / ১০০) = ১০ টাকা।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: ৩ বছরের পার্থক্য চাইলে: D = P × (r / ১০০)² × [ ৩ + (r / ১০০) ]।
কাজ ও সময় পাটিগণিত

ক ও খ পৃথকভাবে কাজ করলে একত্রে কাজটি শেষ করার সময়

⚡ শর্টকাট সূত্র:
একত্রে সময় = (x × y) / (x + y) দিন
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: ক একটি কাজ x দিনে এবং খ y দিনে একা করতে পারলে, দুজনে একসাথে কাজটি শেষ করার সময়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

ক করে ১০ দিনে, খ করে ১৫ দিনে। একত্রে সময় = (১০ × ১৫) / (১০ + ১৫) = ১৫০ / ২৫ = ৬ দিনে।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: যদি ক একা করে x দিনে এবং ক+খ করে y দিনে, তবে খ একা করবে: (x × y) / (x - y) দিনে।
🖩 লাইভ ক্যালকুলেটর: মান বসিয়ে টেস্ট করুন
একত্রে সময়:
৬.০০ দিন
কাজ ও সময় পাটিগণিত

তিনজন (ক, খ ও গ) একত্রে কাজটি শেষ করার সময়

⚡ শর্টকাট সূত্র:
একত্রে সময় = (x × y × z) / (xy + yz + zx) দিন
সংক্ষিপ্ত রূপ: একত্রে সময় = (xyz) / (xy + yz + zx) দিন
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: ক, খ ও গ যথাক্রমে x, y ও z দিনে কোনো কাজ সম্পন্ন করতে পারলে।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

ক করে ১০ দিনে, খ করে ১২ দিনে, গ করে ১৫ দিনে। একত্রে সময় = (১০×১২×১৫) / (১২০ + ১৮০ + ১৫০) = ১৮০০ / ৪৫০ = ৪ দিন।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: লসাগু পদ্ধতি: ১০, ১২ ও ১৫ এর লসাগু ৬০ ইউনিট। মোট দক্ষতা = ৬ + ৫ + ৪ = ১৫ ইউনিট/দিন। সময় = ৬০ / ১৫ = ৪ দিন।
নল ও চৌবাচ্চা পাটিগণিত

একটি নলে পূর্ণ ও অপর নলে খালি হলে চৌবাচ্চা পূর্ণ হওয়ার সময়

⚡ শর্টকাট সূত্র:
সময় = (x × y) / (y - x) মিনিট / ঘণ্টা [যেখানে y > x]
সংক্ষিপ্ত রূপ: সময় = (x × y) / (খালি হওয়ার সময় - পূর্ণ হওয়ার সময়)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: প্রথম নল দিয়ে x মিনিটে পূর্ণ হয় এবং দ্বিতীয় নল দিয়ে y মিনিটে খালি হয়। দুটি একসাথে খোলা থাকলে।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

১২ মিনিটে পূর্ণ ও ১৫ মিনিটে খালি হলে একত্রে পূর্ণ হতে সময় = (১২ × ১৫) / (১৫ - ১২) = ১৮০ / ৩ = ৬০ মিনিট (১ ঘণ্টা)।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: উভয় নল দিয়ে পূর্ণ হলে সময় = (x × y) / (x + y)।
গতি ও দূরত্ব পাটিগণিত

গতিবেগ কিমি/ঘণ্টা থেকে মিটার/সেকেন্ড রূপান্তর শর্টকাট

⚡ শর্টকাট সূত্র:
কিমি/ঘণ্টা → মি/সেকেন্ড = মান × (৫ / ১৮) | মি/সেকেন্ড → কিমি/ঘণ্টা = মান × (১৮ / ৫)
সংক্ষিপ্ত রূপ: km/h to m/s = মান × 5/18; m/s to km/h = মান × 18/5
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: ১ কিমি = ১০০০ মিটার এবং ১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড। তাই ১০০০ / ৩৬০০ = ৫ / ১৮।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

৭২ কিমি/ঘণ্টা = ৭২ × (৫ / ১৮) = ৪ × ৫ = ২০ মিটার/সেকেন্ড।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: মনে রাখুন: ১৮ km/h = ৫ m/s, ৩৬ km/h = ১০ m/s, ৫৪ km/h = ১৫ m/s, ৭২ km/h = ২০ m/s, ৯০ km/h = ২৫ m/s।
ট্রেন সংক্রান্ত পাটিগণিত

ট্রেন কর্তৃক খুঁটি, মানুষ ও সেতু অতিক্রম করার সময়

⚡ শর্টকাট সূত্র:
খুঁটি/মানুষ অতিক্রম: সময় = ট্রেনের দৈর্ঘ্য / গতিবেগ | সেতু/প্ল্যাটফর্ম: সময় = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য) / গতিবেগ
সংক্ষিপ্ত রূপ: সময় = অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব / গতিবেগ
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: খুঁটি বা মানুষের নিজের দৈর্ঘ্য ধর্তব্য নয়, কিন্তু সেতু বা প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য যোগ করতে হয়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

১২০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ৬০ কিমি/ঘণ্টা বেগে চললে একটি খুঁটি অতিক্রম করতে সময় লাগবে: ১২০ / [৬০ × (৫/১৮)] = ১২০ / (৫০/৩) = ৭.২ সেকেন্ড।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: গতিবেগ কিমি/ঘণ্টা থাকলে সময় বের করার আগে অবশ্যই মি/সেকেন্ডে রূপান্তর করুন।
নৌকা ও স্রোত পাটিগণিত

অনুকূল ও প্রতিকূল বেগ থেকে স্থির পানিতে নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগ

⚡ শর্টকাট সূত্র:
স্থির পানিতে নৌকার বেগ = (অনুকূল বেগ + প্রতিকূল বেগ) / ২ | স্রোতের বেগ = (অনুকূল বেগ - প্রতিকূল বেগ) / ২
সংক্ষিপ্ত রূপ: নৌকার বেগ = (u + v) / ২; স্রোতের বেগ = (u - v) / ২
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: অনুকূল বেগ = নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ; প্রতিকূল বেগ = নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

অনুকূলে ১৮ কিমি/ঘণ্টা এবং প্রতিকূলে ১২ কিমি/ঘণ্টা হলে নৌকার বেগ = (১৮ + ১২) / ২ = ১৫ কিমি/ঘণ্টা; স্রোতের বেগ = (১৮ - ১২) / ২ = ৩ কিমি/ঘণ্টা।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: অনুকূলের চেয়ে প্রতিকূলে যেতে সর্বদা বেশি সময় লাগে।
অনুপাত ও মিশ্রণ পাটিগণিত

অনুপাতে অংশ বণ্টন ও মিশ্রণের উপাদানের পরিমাণ

⚡ শর্টকাট সূত্র:
একটি অংশের পরিমাণ = মোট পরিমাণ × [ সংশ্লিষ্ট অনুপাত / অনুপাতগুলোর যোগফল ]
সংক্ষিপ্ত রূপ: অংশের মান = মোট মান × (অনুপাত / অনুপাতের সমষ্টি)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: কোনো রাশিকে a : b : c অনুপাতে ভাগ করতে হলে মোট অনুপাত = (a + b + c)।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

৬০ লিটার মিশ্রণে পানি ও এসিডের অনুপাত ২ : ১ হলে পানির পরিমাণ = ৬০ × [ ২ / (২ + ১) ] = ৪০ লিটার।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: অনুপাতের পার্থক্য সমান থাকলে বয়সের অংকগুলোতে সমীকরণের প্রয়োজন হয় না।
গড় পাটিগণিত

গড় এবং নতুন সংখ্যা যোগ হওয়ার শর্টকাট

⚡ শর্টকাট সূত্র:
গড় = রাশিগুলোর সমষ্টি / রাশির সংখ্যা | রাশিগুলোর সমষ্টি = গড় × রাশির সংখ্যা
সংক্ষিপ্ত রূপ: গড় = সমষ্টি / সংখ্যা; সমষ্টি = গড় × সংখ্যা
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: পরপর n সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = (১ম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা) / ২।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় = (১ + ৪৯) / ২ = ৫০ / ২ = ২৫।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: বিজোড় সংখ্যক ক্রমিক সংখ্যার গড় সর্বদা ঠিক মাঝখানের সংখ্যাটি হয়।
লসাগু ও গসাগু পাটিগণিত

দুটি সংখ্যার গুণফল এবং লসাগু ও গসাগুর সম্পর্ক

⚡ শর্টকাট সূত্র:
সংখ্যা দুটির গুণফল = লসাগু × গসাগু | অপর সংখ্যা = (লসাগু × গসাগু) / একটি সংখ্যা
সংক্ষিপ্ত রূপ: সংখ্যা ১ × সংখ্যা ২ = লসাগু × গসাগু
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশের লসাগু = লবগুলোর লসাগু / হরগুলোর গসাগু। ভগ্নাংশের গসাগু = লবগুলোর গসাগু / হরগুলোর লসাগু।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

গসাগু ১১ ও লসাগু ৭৭০০। একটি সংখ্যা ২৭৫ হলে অপর সংখ্যা = (৭৭০০ × ১১) / ২৭৫ = ৩০৮।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: পরস্পর সহমৌলিক দুটি সংখ্যার গসাগু সর্বদা ১।
বর্গের সূত্রাবলি বীজগণিত

বর্গের মৌলিক সূত্রাবলি

⚡ শর্টকাট সূত্র:
(a + b)² = a² + ২ab + b² | (a - b)² = a² - ২ab + b² | a² - b² = (a + b)(a - b)
সংক্ষিপ্ত রূপ: (a+b)² = a² + 2ab + b²; (a-b)² = a² - 2ab + b²; a²-b² = (a+b)(a-b)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: বীজগণিতের সবচেয়ে মৌলিক ৩টি বর্গের সূত্র যা উৎপাদক বিশ্লেষণ ও মান নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

৫০² - ৪৯² = (৫০ + ৪৯)(৫০ - ৪৯) = ৯৯ × ১ = ৯৯।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: পরপর দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর সর্বদা সংখ্যা দুটির যোগফলের সমান! (n+১)² - n² = ২n + ১।
বর্গের অনুসিদ্ধান্ত বীজগণিত

মান নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় বর্গের অনুসিদ্ধান্ত

⚡ শর্টকাট সূত্র:
a² + b² = (a + b)² - ২ab = (a - b)² + ২ab | (a + b)² = (a - b)² + ৪ab | (a - b)² = (a + b)² - ৪ab
সংক্ষিপ্ত রূপ: a²+b² = (a+b)² - 2ab = (a-b)² + 2ab; (a+b)² = (a-b)² + 4ab
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: মান নির্ণয় প্রশ্নে দেওয়া চিহ্নের ওপর ভিত্তি করে উপযুক্ত অনুসিদ্ধান্ত প্রয়োগ করতে হয়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

যদি a + b = ৭ এবং ab = ১২ হয়, তবে a² + b² = ৭² - ২(১২) = ৪৯ - ২৪ = ২৫।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: (a+b) থেকে (a-b) তে যেতে সর্বদা ৪ab যোগ/বিয়োগ হয়।
বর্গের অনুসিদ্ধান্ত বীজগণিত

২(a² + b²), ৪ab এবং ab এর অনুসিদ্ধান্ত

⚡ শর্টকাট সূত্র:
২(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)² | ৪ab = (a + b)² - (a - b)² | ab = [ (a + b) / ২ ]² - [ (a - b) / ২ ]²
সংক্ষিপ্ত রূপ: 2(a²+b²) = (a+b)² + (a-b)²; 4ab = (a+b)² - (a-b)²; ab = [(a+b)/2]² - [(a-b)/2]²
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: যেকোনো দুটি রাশির গুণফলকে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করতে ab এর সূত্র ব্যবহৃত হয়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

a + b = ৫ এবং a - b = ৩ হলে: ৪ab = ৫² - ৩² = ২৫ - ৯ = ১৬, সুতরাং ab = ৪।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: যোগ করলে ২(a² + b²), আর বিয়োগ করলে ৪ab পাওয়া যায়।
বর্গের সূত্রাবলি বীজগণিত

তিনটি রাশির বর্গের সূত্র (a + b + c)²

⚡ শর্টকাট সূত্র:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + ২(ab + bc + ca) | a² + b² + c² = (a + b + c)² - ২(ab + bc + ca)
সংক্ষিপ্ত রূপ: (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca); a²+b²+c² = (a+b+c)² - 2(ab+bc+ca)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: বিসিএস ও অন্যান্য লিখিত পরীক্ষায় তিনটি চলকের মান নির্ণয়ে নিয়মিত আসে।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

a + b + c = ৯ এবং ab + bc + ca = ৩১ হলে: a² + b² + c² = ৯² - ২(৩১) = ৮১ - ৬২ = ১৯।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: ২(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)।
ঘনের সূত্র ও অনুসিদ্ধান্ত বীজগণিত

ঘনের মৌলিক সূত্রাবলি ও উৎপাদক

⚡ শর্টকাট সূত্র:
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) = (a + b)³ - ৩ab(a + b) | a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) = (a - b)³ + ৩ab(a - b)
সংক্ষিপ্ত রূপ: a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²) = (a+b)³ - 3ab(a+b); a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²) = (a-b)³ + 3ab(a-b)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: উৎপাদক করতে ১ম টি, আর মান নির্ণয় করতে ২য় অনুসিদ্ধান্তটি ব্যবহার করতে হয়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

a + b = ৩ এবং ab = ২ হলে: a³ + b³ = ৩³ - ৩(২)(৩) = ২৭ - ১৮ = ৯।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: প্লাসের সূত্রে মাঝখানে (-ab) এবং মাইনাসের সূত্রে মাঝখানে (+ab) থাকে।
মান নির্ণয় শর্টকাট বীজগণিত

x + 1/x = a হলে x² + 1/x² এর মান নির্ণয় শর্টকাট

⚡ শর্টকাট সূত্র:
x + ১/x = a হলে: x² + ১/x² = a² - ২ | x - ১/x = a হলে: x² + ১/x² = a² + ২
সংক্ষিপ্ত রূপ: x² + 1/x² = a² - 2 (প্লাস থাকলে -২, মাইনাস থাকলে +২)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: পরীক্ষায় বর্গ না করে সরাসরি a এর মান স্কয়ার করে ২ বিয়োগ বা যোগ করুন।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

x + ১/x = ৫ হলে: x² + ১/x² = ৫² - ২ = ২৫ - ২ = ২৩।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: যদি x + ১/x = ২ হয়, তবে x = ১। তখন x¹⁰⁰ + ১/x¹⁰⁰ = ২।
🖩 লাইভ ক্যালকুলেটর: মান বসিয়ে টেস্ট করুন
x² + 1/x² মান:
২৩
মান নির্ণয় শর্টকাট বীজগণিত

x + 1/x = a হলে x³ + 1/x³ এর মান নির্ণয় শর্টকাট

⚡ শর্টকাট সূত্র:
x + ১/x = a হলে: x³ + ১/x³ = a³ - ৩a | x - ১/x = a হলে: x³ - ১/x³ = a³ + ৩a
সংক্ষিপ্ত রূপ: x³ + 1/x³ = a³ - 3a (মাইনাস থাকলে a³ + 3a)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: ঘনের সূত্রে না ভেঙে সরাসরি a কে কিউব করে তা থেকে ৩a বিয়োগ করুন।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

x + ১/x = ৪ হলে: x³ + ১/x³ = ৪³ - ৩(৪) = ৬৪ - ১২ = ৫২।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: x - ১/x = ৩ হলে: ৩³ + ৩(৩) = ২৭ + ৯ = ৩৬।
মান নির্ণয় শর্টকাট বীজগণিত

x + 1/x = a হলে x⁴ + 1/x⁴ এর মান নির্ণয় শর্টকাট

⚡ শর্টকাট সূত্র:
x⁴ + ১/x⁴ = (a² - ২)² - ২
সংক্ষিপ্ত রূপ: x⁴ + 1/x⁴ = (a² - 2)² - 2
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: প্রথমে স্কয়ারের শর্টকাট (a² - ২) বের করুন, তারপর সেই ফলাফলকে আবার স্কয়ার করে ২ বিয়োগ করুন।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

x + ১/x = ৩ হলে: ১ম ধাপ ৩² - ২ = ৭; ২য় ধাপ ৭² - ২ = ৪৯ - ২ = ৪৭।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: দুইবার স্কয়ার শর্টকাট করলেই ৪-ঘাতের মান পাওয়া যায়।
সমান্তর ধারা বীজগণিত

সমান্তর ধারার n-তম পদ ও পদসংখ্যা নির্ণয়

⚡ শর্টকাট সূত্র:
n-তম পদ = a + (n - ১)d | পদসংখ্যা (n) = [ (শেষ পদ - ১ম পদ) / সাধারণ অন্তর ] + ১
সংক্ষিপ্ত রূপ: n-তম পদ = a + (n-1)d; পদসংখ্যা = [ (শেষ পদ - ১ম পদ) / d ] + 1
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: a = প্রথম পদ, d = সাধারণ অন্তর (২য় পদ - ১ম পদ)।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

৪ + ৭ + ১০ + ...... ধারাটির কোন পদ ৩০৪? পদসংখ্যা = [ (৩০৪ - ৪) / ৩ ] + ১ = (৩০০ / ৩) + ১ = ১০০ + ১ = ১০১তম পদ।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: পদসংখ্যা বের করার পর যেকোনো সমষ্টি বের করা পানির মতো সহজ।
সমান্তর ধারা বীজগণিত

সমান্তর ধারার সমষ্টির শর্টকাট সূত্র

⚡ শর্টকাট সূত্র:
সমষ্টি (Sₙ) = [ পদসংখ্যা / ২ ] × (১ম পদ + শেষ পদ) = [ n / ২ ] × [ ২a + (n - ১)d ]
সংক্ষিপ্ত রূপ: সমষ্টি = [ n / 2 ] × (১ম পদ + শেষ পদ)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: যদি ১ম পদ, শেষ পদ ও মোট পদসংখ্যা জানা থাকে, তবে সরাসরি ১ম সূত্রটি প্রয়োগ করা যায়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

১ + ২ + ৩ + ..... + ৫০ = [ ৫০ / ২ ] × (১ + ৫০) = ২৫ × ৫১ = ১২৭৫।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: ১ থেকে n পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = [ n(n + ১) ] / ২।
বিশেষ ধারা বীজগণিত

বিজোড়, জোড়, বর্গ ও ঘনের ধারার সমষ্টি

⚡ শর্টকাট সূত্র:
১ম n বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = n² | ১ম n স্বাভাবিক বর্গের সমষ্টি = [ n(n + ১)(২n + ১) ] / ৬ | ঘনের সমষ্টি = [ n(n + ১) / ২ ]²
সংক্ষিপ্ত রূপ: বিজোড় = n²; বর্গ = n(n+1)(2n+1)/6; ঘন = [n(n+1)/2]²
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: পরীক্ষায় ১ + ৩ + ৫ + ৭ এর মতো বিজোড় ধারা আসলে শুধু পদসংখ্যা গুণে বর্গ করে দিন।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

১ম ১০টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ১০² = ১০০। ১² + ২² + ৩² + .... + ১০² = [ ১০ × ১১ × ২১ ] / ৬ = ৩৮৫।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: ঘনের সমষ্টি হলো স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির পুরোটার হোল স্কয়ার।
গুণোত্তর ধারা বীজগণিত

গুণোত্তর ধারার n-তম পদ ও অসীম ধারার সমষ্টি

⚡ শর্টকাট সূত্র:
n-তম পদ = a × rⁿ⁻¹ | অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি (S∞) = a / (১ - r) [যেখানে |r| < ১]
সংক্ষিপ্ত রূপ: n-তম পদ = ar^(n-1); অসীম সমষ্টি = a / (1 - r)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: a = ১ম পদ, r = সাধারণ অনুপাত (২য় পদ / ১ম পদ)। সাধারণ অনুপাত ১ এর কম হলে অসীম সমষ্টি বিদ্যমান থাকে।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

১ + ১/২ + ১/৪ + ১/৮ + .... অসীম ধারার সমষ্টি = ১ / (১ - ১/২) = ১ / (১/২) = ২।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: যদি |r| ≥ ১ হয়, তবে অসীম ধারার কোনো নির্দিষ্ট সমষ্টি থাকে না।
সূচক (Indices) বীজগণিত

সূচকের মৌলিক নিয়মাবলি

⚡ শর্টকাট সূত্র:
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | a⁰ = ১ | a⁻ⁿ = ১ / aⁿ
সংক্ষিপ্ত রূপ: a^m × a^n = a^(m+n); a^m / a^n = a^(m-n); (a^m)^n = a^mn; a^0 = 1; a^-n = 1/a^n
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: ভিত্তি এক হলে গুণে পাওয়ার যোগ এবং ভাগে পাওয়ার বিয়োগ হয়। যেকোনো কিছুর পাওয়ার ০ হলে মান ১ (a ≠ ০)।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

২⁵ × ২³ = ২⁸ = ২৫৬। ২³ / ২⁵ = ২⁻² = ১ / ২² = ১/৪।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: সূচকের সমীকরণে উভয় পাশের ভিত্তি (base) এক বানিয়ে পাওয়ার সমান করতে হয়: aˣ = aʸ হলে x = y।
লগারিদম (Logarithm) বীজগণিত

লগারিদমের মৌলিক সূত্র ও রূপান্তর

⚡ শর্টকাট সূত্র:
logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y | logₐ(x/y) = logₐ x - logₐ y | logₐ(xᵖ) = p logₐ x | logₐ a = ১ | logₐ b = x ⇔ aˣ = b
সংক্ষিপ্ত রূপ: log(xy) = log x + log y; log(x/y) = log x - log y; log(x^p) = p log x; log_a a = 1; log_a b = x হলে a^x = b
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: লগের ভিত্তি রূপান্তরের মূল সমীকরণ হলো aˣ = b। যেকোনো লগের মান বের করতে পাওয়ার সামনে চলে আসে।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

log₂ ৬৪ = log₂ (২⁶) = ৬ log₂ ২ = ৬ × ১ = ৬।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: মনে রাখুন: log ১০ = ১, log ১ = ০, logₑ x = ln x।
বিন্যাস ও সমাবেশ বীজগণিত

হ্যান্ডশেক, ম্যাচ সংখ্যা ও উপহার বিনিময় শর্টকাট

⚡ শর্টকাট সূত্র:
হ্যান্ডশেক বা টুর্নামেন্ট ম্যাচ সংখ্যা = [ n(n - ১) ] / ২ | উপহার বা কার্ড বিনিময় সংখ্যা = n(n - ১)
সংক্ষিপ্ত রূপ: হ্যান্ডশেক = [ n(n - 1) ] / 2; উপহার = n(n - 1)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: n জন ব্যক্তি প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলে দুজনে ১টি হয়, তাই ভাগ ২। কিন্তু উপহার প্রত্যেকে সবাইকে দেয়, তাই ভাগ ২ হয় না।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

১০ জন ব্যক্তি প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলে মোট হ্যান্ডশেক = [ ১০ × ৯ ] / ২ = ৪৫টি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: ৮টি দলের টুর্নামেন্টে প্রত্যেকে পরস্পরের সাথে ১টি করে ম্যাচ খেললে মোট ম্যাচ = (৮ × ৭) / ২ = ২৮টি।
🖩 লাইভ ক্যালকুলেটর: মান বসিয়ে টেস্ট করুন
মোট হ্যান্ডশেক:
৪৫টি
সম্ভাব্যতা (Probability) বীজগণিত

সম্ভাব্যতা, মুদ্রা ও ছক্কার মোট নমুনা ফলাফল

⚡ শর্টকাট সূত্র:
সম্ভাব্যতা = অনুকূল ঘটনা / মোট ঘটনা | n টি মুদ্রার মোট ফলাফল = ২ⁿ | n টি ছক্কার মোট ফলাফল = ৬ⁿ
সংক্ষিপ্ত রূপ: P(E) = অনুকূল / মোট; মুদ্রা = 2^n; ছক্কা = 6^n
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: সম্ভাব্যতার মান সর্বদা ০ থেকে ১ এর মধ্যে থাকে। অসম্ভব ঘটনার সম্ভাব্যতা ০, নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাব্যতা ১।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

২টি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে উভয়টিতে Head পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ১ / ২² = ১/৪।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: কমপক্ষে একটি Head পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ১ - (কোনোটিতেই Head না পড়ার সম্ভাব্যতা) = ১ - ১/৪ = ৩/৪।
ত্রিভুজ জ্যামিতি

ত্রিভুজের সাধারণ ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা

⚡ শর্টকাট সূত্র:
ক্ষেত্রফল = (১ / ২) × ভূমি × উচ্চতা | পরিসীমা = তিন বাহুর যোগফল (a + b + c)
সংক্ষিপ্ত রূপ: ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: যেকোনো ত্রিভুজের ভূমি ও সংশ্লিষ্ট উচ্চতা জানা থাকলে এই সূত্র প্রযোজ্য। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

ভূমি ১০ সেমি এবং উচ্চতা ৬ সেমি হলে ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১০ × ৬ = ৩০ বর্গ সেমি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: যেকোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে (a + b > c)।
ত্রিভুজ জ্যামিতি

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও উচ্চতা

⚡ শর্টকাট সূত্র:
ক্ষেত্রফল = [ (√৩ / ৪) × a² ] | উচ্চতা (h) = [ (√৩ / ২) × a ]
সংক্ষিপ্ত রূপ: ক্ষেত্রফল = (√3 / 4) × a²; উচ্চতা = (√3 / 2) × a
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: যে ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান (a)। বিসিএসে এই সূত্র থেকে সবচেয়ে বেশি প্রশ্ন আসে।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি হলে ক্ষেত্রফল = (√৩ / ৪) × ৪² = ৪√৩ বর্গ সেমি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল চারগুণ (২² = ৪) বৃদ্ধি পায়।
ত্রিভুজ জ্যামিতি

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

⚡ শর্টকাট সূত্র:
ক্ষেত্রফল = (b / ৪) × √(৪a² - b²)
সংক্ষিপ্ত রূপ: ক্ষেত্রফল = (b / 4) × √(4a² - b²)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: যেখানে a = সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, এবং b = ভূমির দৈর্ঘ্য।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ সেমি ও ভূমি ৬ সেমি হলে: ক্ষেত্রফল = (৬/৪) × √(৪×২৫ - ৩৬) = ১.৫ × √৬৪ = ১.৫ × ৮ = ১২ বর্গ সেমি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: মাঝখান দিয়ে উচ্চতা আঁকলে সমকোণী ত্রিভুজ পিথাগোরাস দিয়েও সহজে উচ্চতা বের করা যায়।
সমকোণী ত্রিভুজ জ্যামিতি

পিথাগোরাসের উপপাদ্য ও কমন ট্রিপলেটস অনুপাত

⚡ শর্টকাট সূত্র:
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি² | কমন ট্রিপলেটস: ৩:৪:৫, ৫:১২:১৩, ৮:১৫:১৭, ৭:২৪:২৫
সংক্ষিপ্ত রূপ: অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²; ট্রিপলেটস: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: এই অনুপাতগুলো মুখস্থ থাকলে সমকোণী ত্রিভুজের যেকোনো বাহু ও ক্ষেত্রফল চোখের পলকে বের করা যায়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

ভূমি ১২ সেমি ও অতিভুজ ১৩ সেমি হলে লম্ব হবে ৫ সেমি। ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১২ × ৫ = ৩০ বর্গ সেমি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: ৩:৪:৫ এর যেকোনো গুণিতকও সমকোণী ত্রিভুজ—যেমন (৬, ৮, ১০), (৯, ১২, ১৫), (১৫, ২০, ২৫)।
চতুর্ভুজ জ্যামিতি

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, পরিসীমা ও কর্ণের দৈর্ঘ্য

⚡ শর্টকাট সূত্র:
ক্ষেত্রফল = a² | পরিসীমা = ৪a | কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ × a
সংক্ষিপ্ত রূপ: ক্ষেত্রফল = a²; পরিসীমা = 4a; কর্ণ = √2 × a
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: কর্ণ d জানা থাকলে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = d² / ২।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

এক বাহু ৫ সেমি হলে ক্ষেত্রফল = ২৫ বর্গ সেমি, পরিসীমা = ২০ সেমি, কর্ণ = ৫√২ সেমি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: বর্গক্ষেত্রের কর্ণ জানা থাকলে: ক্ষেত্রফল = (কর্ণ)² / ২।
চতুর্ভুজ জ্যামিতি

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, পরিসীমা ও কর্ণ

⚡ শর্টকাট সূত্র:
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ | পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) | কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²)
সংক্ষিপ্ত রূপ: ক্ষেত্রফল = a × b; পরিসীমা = 2(a + b); কর্ণ = √(a² + b²)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: আয়তক্ষেত্রের চারপাশের রাস্তার ক্ষেত্রফল: বাইরের রাস্তা = ২w(a + b + ২w); ভেতরের রাস্তা = ২w(a + b - ২w)।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

দৈর্ঘ্য ১২ মিটার ও প্রস্থ ৫ মিটার হলে কর্ণ = √(১২² + ৫²) = √(১৪৪ + ২৫) = √১৬৯ = ১৩ মিটার।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: আয়তক্ষেত্রের কর্ণ আয়তক্ষেত্রটিকে দুটি সমান সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
চতুর্ভুজ জ্যামিতি

রম্বসের ক্ষেত্রফল ও বাহু নির্ণয়

⚡ শর্টকাট সূত্র:
ক্ষেত্রফল = (১ / ২) × d₁ × d₂ | বাহুর দৈর্ঘ্য (a) = √[ (d₁/২)² + (d₂/২)² ]
সংক্ষিপ্ত রূপ: ক্ষেত্রফল = (1/2) × কর্ণ ১ × কর্ণ ২; বাহু = √[ (d₁/2)² + (d₂/2)² ]
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই কর্ণদ্বয় d₁ ও d₂ জানা থাকলে সরাসরি ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

কর্ণদ্বয় ৮ সেমি ও ৬ সেমি হলে ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৮ × ৬ = ২৪ বর্গ সেমি। বাহু = √(৪² + ৩²) = ৫ সেমি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: রম্বসের পরিসীমা = ৪ × বাহু = ৪ × ৫ = ২০ সেমি।
চতুর্ভুজ জ্যামিতি

ট্রাপিজিয়াম ও সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল

⚡ শর্টকাট সূত্র:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১ / ২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা | সামান্তরিক = ভূমি × উচ্চতা
সংক্ষিপ্ত রূপ: ট্রাপিজিয়াম = (1/2) × (a + b) × h; সামান্তরিক = ভূমি × উচ্চতা
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুই বাহু a ও b এবং তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব h।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

সমান্তরাল বাহু দুটি ৯ সেমি ও ৭ সেমি এবং উচ্চতা ৪ সেমি হলে ক্ষেত্রফল = (১/২) × (৯ + ৭) × ৪ = ১৬ × ২ = ৩২ বর্গ সেমি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিকটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে ভাগ করে।
বৃত্ত জ্যামিতি

বৃত্তের পরিধি, ক্ষেত্রফল ও ব্যাসার্ধের গুণিতক নিয়ম

⚡ শর্টকাট সূত্র:
পরিধি = ২πr = πd | ক্ষেত্রফল = πr² | ব্যাসার্ধ k গুণ হলে ক্ষেত্রফল বাড়ে k² গুণ
সংক্ষিপ্ত রূপ: পরিধি = 2πr; ক্ষেত্রফল = πr² (যেখানে π ≈ 22/7 ≈ 3.1416)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: বৃত্তের ব্যাসার্ধ r, ব্যাস d = ২r। ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে ক্ষেত্রফল ৪ গুণ (২² = ৪) বৃদ্ধি পায়।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

ব্যাসার্ধ ৭ সেমি হলে পরিধি = ২ × (২২/৭) × ৭ = ৪৪ সেমি; ক্ষেত্রফল = (২২/৭) × ৭² = ১৫৪ বর্গ সেমি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: যদি ব্যাসার্ধ ১০% বৃদ্ধি পায়, তবে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে: ২(১০) + (১০²/১০০) = ২১%।
বহুভুজ জ্যামিতি

বহুভুজের অন্তঃকোণ সমষ্টি ও কর্ণের সংখ্যা

⚡ শর্টকাট সূত্র:
অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি = (n - ২) × ১৮০° | কর্ণের সংখ্যা = [ n(n - ৩) ] / ২
সংক্ষিপ্ত রূপ: অন্তঃকোণ সমষ্টি = (n - 2) × 180°; কর্ণের সংখ্যা = [ n(n - 3) ] / 2
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: n = বাহুর সংখ্যা। সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ = [ (n - ২) × ১৮০° ] / n। যেকোনো বহুভুজের বহিঃকোণগুলোর সমষ্টি সর্বদা ৩৬০°।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

পঞ্চভুজের (n = ৫) কোণ সমষ্টি = (৫ - ২) × ১৮০° = ৫৪০°। কর্ণের সংখ্যা = [ ৫ × (৫ - ৩) ] / ২ = ৫টি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: সুষম ষড়ভুজের (n = ৬) প্রতিটি অন্তঃকোণ = (৪ × ১৮০°) / ৬ = ১২০°।
🖩 লাইভ ক্যালকুলেটর: মান বসিয়ে টেস্ট করুন
কোণ সমষ্টি:
৫৪০°
কর্ণের সংখ্যা:
৫টি
ঘনবস্তু ও পরিমিতি জ্যামিতি

আয়তাকার ঘনবস্তু ও ঘনকের আয়তন, ক্ষেত্রফল ও কর্ণ

⚡ শর্টকাট সূত্র:
ঘনবস্তু: আয়তন = abc | সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ২(ab + bc + ca) | কর্ণ = √(a² + b² + c²) | ঘনক: আয়তন = a³ | কর্ণ = √৩ × a
সংক্ষিপ্ত রূপ: ঘনবস্তু আয়তন = abc; কর্ণ = √(a²+b²+c²); ঘনক আয়তন = a³; ঘনক কর্ণ = √3 × a
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: ঘনকের সব বাহু সমান (a = b = c)। ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ৬a²।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ৩, প্রস্থ ২ ও উচ্চতা ১ সেমি হলে কর্ণ = √(৯ + ৪ + ১) = √১৪ সেমি। আয়তন = ৩ × ২ × ১ = ৬ ঘন সেমি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: ঘনকের এক বাহু দ্বিগুণ হলে আয়তন বাড়ে ৮ গুণ (২³ = ৮)।
ঘনবস্তু ও পরিমিতি জ্যামিতি

বেলন বা সিলিন্ডারের আয়তন ও ক্ষেত্রফল

⚡ শর্টকাট সূত্র:
আয়তন = πr²h | বক্রতলের ক্ষেত্রফল = ২πrh | সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ২πr(r + h)
সংক্ষিপ্ত রূপ: আয়তন = πr²h; বক্রতল = 2πrh; সমগ্রতল = 2πr(r + h)
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

ব্যাসার্ধ ৭ সেমি ও উচ্চতা ১০ সেমি হলে আয়তন = (২২/৭) × ৭² × ১০ = ১৫৪ × ১০ = ১৫৪০ ঘন সেমি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: সিলিন্ডারের বক্রতল খুলে দিলে এটি একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করে যার দৈর্ঘ্য ২πr ও প্রস্থ h।
ঘনবস্তু ও পরিমিতি জ্যামিতি

গোলকের আয়তন ও পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

⚡ শর্টকাট সূত্র:
গোলকের আয়তন = (৪ / ৩) × πr³ | পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = ৪πr²
সংক্ষিপ্ত রূপ: আয়তন = (4/3)πr³; ক্ষেত্রফল = 4πr²
📌 প্রয়োগের নিয়ম / ব্যাখ্যা: অর্ধগোলকের আয়তন = (২ / ৩) × πr³ এবং অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ৩πr²।
📝 পরীক্ষার উদাহরণ ও সমাধান:

ব্যাসার্ধ ৭ সেমি হলে গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = ৪ × (২২/৭) × ৭² = ৪ × ১৫৪ = ৬১৬ বর্গ সেমি।

💡 স্পেশাল ট্রিকস ও টিপস: গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে ক্ষেত্রফল ৪ গুণ এবং আয়তন ৮ গুণ বৃদ্ধি পায়।