চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

দেওয়া আছে, $2x + 3y = 13$ এবং $xy = 6$।
প্রদত্ত রাশি = $8x^3 + 27y^3$
$= (2x)^3 + (3y)^3$
$= (2x + 3y)^3 - 3 \cdot 2x \cdot 3y(2x + 3y)$ [যেহেতু $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$]
$= (2x + 3y)^3 - 18xy(2x + 3y)$
$= (13)^3 - 18 \times 6 \times 13$ [মান বসিয়ে]
$= 2197 - 1404$
$= 793$
উত্তর: ৭৯৩।

মনে করি, শ্রেণীকক্ষে বেঞ্চের সংখ্যা = $x$ টি।
প্রথম শর্তমতে, ২টি বেঞ্চ খালি থাকায় ব্যবহৃত বেঞ্চ = $(x - 2)$ টি এবং মোট ছাত্রী সংখ্যা = $6(x - 2)$ জন।
দ্বিতীয় শর্তমতে, প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে বসলে ৬ জন দাঁড়িয়ে থাকে, তাই মোট ছাত্রী সংখ্যা = $(5x + 6)$ জন।
সুতরাং, $6(x - 2) = 5x + 6$
বা, $6x - 12 = 5x + 6$
বা, $6x - 5x = 6 + 12$
∴ x = 18$ অতএব, বেঞ্চের সংখ্যা = ১৮ টি। এবং ছাত্রী সংখ্যা = $5\times 18 + 6 = 90 + 6 = 96$ জন।
উত্তর: ছাত্রী সংখ্যা ৯৬ জন এবং বেঞ্চের সংখ্যা ১৮ টি।

মনে করি, সংখ্যাটির অঙ্ক দুটি যথাক্রমে $x$ ও $y$ (যেখানে $x > y$)।
প্রশ্নমতে,
$x + y = 15$ ....... (i)
$x - y = 3$ ....... (ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
$2x = 18 \implies x = 9$
(i) নং সমীকরণে $x$-এর মান বসিয়ে পাই,
$9 + y = 15 \implies y = 15 - 9 = 6$
যেহেতু কোন অঙ্কটি দশক বা একক স্থানীয় তা নির্দিষ্ট করে বলা নেই, তাই সংখ্যাটি হবে $(10x + y) = 10(9) + 6 = 96$ অথবা $(10y + x) = 10(6) + 9 = 69$।
উত্তর: ৯৬ অথবা ৬৯।

মোট কাজের সময় = ২৪ দিন।
১২ দিন কাজ করার পর অবশিষ্ট দিন থাকে = $(24 - 12) = 12$ দিন।
১৫ জন লোক চলে যাওয়ায় বাকি লোক থাকে = $(30 - 15) = 15$ জন।
এখন,
৩০ জন লোক অবশিষ্ট কাজটি করতে পারে = ১২ দিনে
∴ ১ জন লোক অবশিষ্ট কাজটি করতে পারে = $(12 \times 30)$ দিনে
∴ ১৫ জন লোক অবশিষ্ট কাজটি করতে পারে = $\frac{12 \times 30}{15} = 24$ দিনে।
উত্তর: ২৪ দিনে।

দেওয়া আছে, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = ১৩ মিটার এবং লম্ব = ৫ মিটার।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী আমরা জানি,
$\text{অতিভুজ}^2 = \text{লম্ব}^2 + \text{ভূমি}^2$
বা, $\text{ভূমি}^2 = \text{অতিভুজ}^2 - \text{লম্ব}^2$
বা, $\text{ভূমি} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ মিটার।
যেহেতু উত্তর সেন্টিমিটারে চাওয়া হয়েছে এবং ১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার,
সুতরাং ভূমির দৈর্ঘ্য = $12 \times 100 = 1200$ সেন্টিমিটার।
উত্তর: ১২০০ সেন্টিমিটার।

মনে করি, ঘরের প্রস্থ $x$ মিটার।
দৈর্ঘ্য $= \frac{3}{2}x$ মিটার।
প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল $= x \times \frac{3}{2}x = 384$
$\R→ \frac{3x^2}{2} = 384$
$\R→ x^2 = \frac{384 \times 2}{3} = 128 \times 2 = 256$
$\R→ x = 16$ মিটার।
সুতরাং প্রস্থ $= ১৬$ মিটার এবং দৈর্ঘ্য $= \frac{3}{2} \times 16 = ২৪$ মিটার।
অতএব, ঘরের পরিসীমা $= ২ \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ}) = ২ \times (২৪ + ১৬) = ২ \times ৪০ = ৮০$ মিটার।
উত্তর: ৮০ মিটার।

এখানে উচ্চতা, $h = ৭$ মিটার এবং ভূ-সমান্তরাল অবনতি কোণ = উন্নতি কোণ $= ৩০^\circ$।
খুঁটির দৈর্ঘ্য $= l$ মিটার হলে,
$\sin 30^\circ = \frac{\text{বিপরীত বাহু (উচ্চতা)}}{\text{অতিভুজ (খুঁটির দৈর্ঘ্য)}} = \frac{7}{l}$
$\R→ \frac{1}{2} = \frac{7}{l}$
$\R→ l = 7 \times 2 = 14$ মিটার।
অতএব, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য ১৪ মিটার।

প্রদত্ত রাশি $= a^{p(q-r)} \cdot a^{q(r-p)} \cdot a^{r(p-q)}$
$= a^{pq - pr} \cdot a^{qr - pq} \cdot a^{pr - qr}$
$= a^{pq - pr + qr - pq + pr - qr}$
$= a^0 = 1$।
উত্তর: $1$।

মনে করি, ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ মিটার।
প্রশ্নমতে, সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $6a^2 = 96$
$\R→ a^2 = \frac{96}{6} = 16$
$\R→ a = 4$ মিটার।
অতএব, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{3}a = 4\sqrt{3}$ মিটার (বা প্রায় $৬.৯২৮$ মিটার)।
উত্তর: $4\sqrt{3}$ মিটার।

দেওয়া আছে, $2\cos^2\theta + 3\sin\theta - 3 = 0$
$\R→ 2(1 - \sin^2\theta) + 3\sin\theta - 3 = 0$
$\R→ 2 - 2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 3 = 0$
$\R→ -2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 1 = 0$
$\R→ 2\sin^2\theta - 3\sin\theta + 1 = 0$
$\R→ 2\sin^2\theta - 2\sin\theta - \sin\theta + 1 = 0$
$\R→ 2\sin\theta(\sin\theta - 1) - 1(\sin\theta - 1) = 0$
$\R→ (\sin\theta - 1)(2\sin\theta - 1) = 0$
হয়, $\sin\theta - 1 = 0 \R→ \sin\theta = 1 \R→ \theta = 90^\circ$ (গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ $\theta$ সূক্ষ্মকোণ)।
অথবা, $2\sin\theta - 1 = 0 \R→ \sin\theta = \frac{1}{2} \R→ \theta = 30^\circ$।
অতএব, নির্ণেয় মান $\theta = 30^\circ$।

দেওয়া আছে, $x + \frac{1}{x} = 2$
$\R→ \frac{x^2+1}{x} = 2$
$\R→ x^2 + 1 = 2x$

প্রদত্ত রাশি $= \frac{x}{x^2-x+1}$
$= \frac{x}{x^2+1-x}$
$= \frac{x}{2x-x} = \frac{x}{x} = 1$

$\frac{1}{x+2y} + \frac{1}{x-2y} - \frac{2x}{x^2-4y^2}$
$= \frac{(x-2y) + (x+2y) - 2x}{(x+2y)(x-2y)}$
$= \frac{x - 2y + x + 2y - 2x}{x^2-4y^2}$
$= \frac{2x - 2x}{x^2-4y^2}$
$= \frac{0}{x^2-4y^2}$
$= 0$ (Ans).