চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান
বিসিএস, ব্যাংক, শিক্ষক নিয়োগ ও বিভিন্ন প্রতিষ্ঠানের বিগত পরীক্ষার নির্ভুল সমাধান ও প্রতিষ্ঠান ভিত্তিক প্রশ্ন আর্কাইভ।
বিষয় ও অধ্যায় ভিত্তিক প্রশ্নব্যাংক
বিষয় ও নির্দিষ্ট অধ্যায় ভিত্তিক বিগত বিসিএস, ব্যাংক ও সরকারি নিয়োগ পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান পড়ুন
বিষয় নির্বাচন করুন:
'গণিত' এর অধ্যায় বা পরিচ্ছেদ:
গণিত
এর প্রশ্নসমূহ
মোট 998 টি
উৎপাদকে বিশ্লেষণের মাধ্যমে সমাধান করুন: $2(x^2 - 9) + 9x = 0$ [তোষাখানা জাদুঘর (সাঁটমুদ্রাক্ষরিক, অফিস সহকারী, অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক) ২০২৬]
আদর্শ সমাধান ও উত্তরপত্র
প্রদত্ত সমীকরণ:$$2(x^2 - 9) + 9x = 0$$$$\R→ 2x^2 - 18 + 9x = 0$$$$\R→ 2x^2 + 9x - 18 = 0$$$$\R→ 2x^2 + 12x - 3x - 18 = 0$$$$\R→ 2x(x + 6) - 3(x + 6) = 0$$$$\R→ (x + 6)(2x - 3) = 0$$হয়,$$x + 6 = 0$$$$\R→ x = -6$$অথবা,$$2x - 3 = 0$$$$\R→ 2x = 3$$$$\R→ x = \frac{3}{2}$$অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $x = -6$ অথবা $x = \frac{3}{2}$
একজন ব্যক্তি ভ্রমণে ৪ মাইল উত্তরে, ১২ মাইল পূর্বে, তারপর আবার ১২ মাইল উত্তরে যায়। সে শুরুর স্থান থেকে কত মাইল দূরে? [সহকারী যুব উন্নয়ন কর্মকর্তা ২০২৪]
আদর্শ সমাধান ও উত্তরপত্র
সমাধান:
লোকটি A বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করে প্রথমে উত্তর দিকে $AB = ৪$ মাইল যায়। তারপর B থেকে পূর্ব দিকে $BC = ১২$ মাইল যায়। এরপর C থেকে উত্তর দিকে $CD = ১২$ মাইল যায়।
এখানে, চিত্রানুযায়ী:
$BC = AE = ১২$ মাইল
$AB = EC = ৪$ মাইল
∴ ED = EC + CD = ৪ + ১২ = ১৬$ মাইল এখন, $\triangle AED$ সমকোণী ত্রিভুজ আকৃতির ক্ষেত্রে পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী: $AD^2 = AE^2 + ED^2$ $\R→ AD = \sqrt{AE^2 + ED^2} = \sqrt{(১২)^২ + (১৬)^২} = \sqrt{১৪৪ + ২৫৬} = \sqrt{৪০০} = ২০$ ∴ শুরুর স্থান A থেকে গন্তব্য D এর দূরত্ব $= ২০$ মাইল।
লোকটি A বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করে প্রথমে উত্তর দিকে $AB = ৪$ মাইল যায়। তারপর B থেকে পূর্ব দিকে $BC = ১২$ মাইল যায়। এরপর C থেকে উত্তর দিকে $CD = ১২$ মাইল যায়।
এখানে, চিত্রানুযায়ী:
$BC = AE = ১২$ মাইল
$AB = EC = ৪$ মাইল
∴ ED = EC + CD = ৪ + ১২ = ১৬$ মাইল এখন, $\triangle AED$ সমকোণী ত্রিভুজ আকৃতির ক্ষেত্রে পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী: $AD^2 = AE^2 + ED^2$ $\R→ AD = \sqrt{AE^2 + ED^2} = \sqrt{(১২)^২ + (১৬)^২} = \sqrt{১৪৪ + ২৫৬} = \sqrt{৪০০} = ২০$ ∴ শুরুর স্থান A থেকে গন্তব্য D এর দূরত্ব $= ২০$ মাইল।
একটি আয়তাকার ঘনবস্তু ৪৮ বর্গমিটার ভূমির উপর দণ্ডায়মান। এর উচ্চতা ৩ মিটার এবং কর্ণ ১৩ মিটার। আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত? [সহকারী যুব উন্নয়ন কর্মকর্তা ২০২৪]
আদর্শ সমাধান ও উত্তরপত্র
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, $c = ৩$ মি.
এবং কর্ণ $= ১৩$ মি.
মনেকরি,
আয়তাকার ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য $= a$ মি.
এবং প্রস্থ $= b$ মি.
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল $= ab$
এবং কর্ণ $= \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
প্রশ্নমতে, $ab = ৪৮ \dots\dots\dots$ (i)
এবং $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = ১৩$
$\R→ \sqrt{a^2 + b^2 + ৩^২} = ১৩$
$\R→ a^2 + b^2 + ৯ = (১৩)^২$ [উভয় পক্ষে বর্গ করে পাই]
$\R→ a^2 + b^2 = ১৬৯ - ৯$
$\R→ a^2 + b^2 = ১৬০ \dots\dots\dots$ (ii)
এখন, আমরা জানি,
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$
$= ১৬০ + (২ \times ৪৮) = ১৬০ + ৯৬ = ২৫৬$
$\R→ a + b = \sqrt{২৫৬} \R→ a + b = ১৬ \dots\dots\dots$ (iii)
আবার,
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab$
$= ১৬০ - (২ \times ৪৮) = ১৬০ - ৯৬ = ৬৪$
$\R→ a - b = \sqrt{৬৪} \R→ a - b = ৮ \dots\dots\dots$ (iv)
(iii) + (iv) করে পাই,
$2a = ২৪ \R→ a = ১২$
∴ (iii) হতে পাই,
$১২ + b = ১৬ \R→ b = ১৬ - ১২ = ৪$
∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য $= ১২$ মিটার এবং প্রস্থ $= ৪$ মিটার।
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, $c = ৩$ মি.
এবং কর্ণ $= ১৩$ মি.
মনেকরি,
আয়তাকার ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য $= a$ মি.
এবং প্রস্থ $= b$ মি.
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল $= ab$
এবং কর্ণ $= \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
প্রশ্নমতে, $ab = ৪৮ \dots\dots\dots$ (i)
এবং $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = ১৩$
$\R→ \sqrt{a^2 + b^2 + ৩^২} = ১৩$
$\R→ a^2 + b^2 + ৯ = (১৩)^২$ [উভয় পক্ষে বর্গ করে পাই]
$\R→ a^2 + b^2 = ১৬৯ - ৯$
$\R→ a^2 + b^2 = ১৬০ \dots\dots\dots$ (ii)
এখন, আমরা জানি,
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$
$= ১৬০ + (২ \times ৪৮) = ১৬০ + ৯৬ = ২৫৬$
$\R→ a + b = \sqrt{২৫৬} \R→ a + b = ১৬ \dots\dots\dots$ (iii)
আবার,
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab$
$= ১৬০ - (২ \times ৪৮) = ১৬০ - ৯৬ = ৬৪$
$\R→ a - b = \sqrt{৬৪} \R→ a - b = ৮ \dots\dots\dots$ (iv)
(iii) + (iv) করে পাই,
$2a = ২৪ \R→ a = ১২$
∴ (iii) হতে পাই,
$১২ + b = ১৬ \R→ b = ১৬ - ১২ = ৪$
∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য $= ১২$ মিটার এবং প্রস্থ $= ৪$ মিটার।
$(2x + 3y)(4x - 5y)$ কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর। [সহকারী যুব উন্নয়ন কর্মকর্তা ২০২৪]
আদর্শ সমাধান ও উত্তরপত্র
আমরা জানি,
$ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$
∴ (2x + 3y)(4x - 5y) = \left\{\frac{(2x + 3y) + (4x - 5y)}{2}\right\}^2 - \left\{\frac{(2x + 3y) - (4x - 5y)}{2}\right\}^2$ $= \left(\frac{2x + 3y + 4x - 5y}{2}\right)^2 - \left(\frac{2x + 3y - 4x + 5y}{2}\right)^2$ $= \left(\frac{6x - 2y}{2}\right)^2 - \left(\frac{8y - 2x}{2}\right)^2$ $= \left\{\frac{2(3x - y)}{2}\right\}^2 - \left\{\frac{2(4y - x)}{2}\right\}^2$ $= (3x - y)^2 - (4y - x)^2$ ∴ নির্ণেয় বর্গের বিয়োগফল: $(3x - y)^2 - (4y - x)^2$
$ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$
∴ (2x + 3y)(4x - 5y) = \left\{\frac{(2x + 3y) + (4x - 5y)}{2}\right\}^2 - \left\{\frac{(2x + 3y) - (4x - 5y)}{2}\right\}^2$ $= \left(\frac{2x + 3y + 4x - 5y}{2}\right)^2 - \left(\frac{2x + 3y - 4x + 5y}{2}\right)^2$ $= \left(\frac{6x - 2y}{2}\right)^2 - \left(\frac{8y - 2x}{2}\right)^2$ $= \left\{\frac{2(3x - y)}{2}\right\}^2 - \left\{\frac{2(4y - x)}{2}\right\}^2$ $= (3x - y)^2 - (4y - x)^2$ ∴ নির্ণেয় বর্গের বিয়োগফল: $(3x - y)^2 - (4y - x)^2$
বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে? [সহকারী যুব উন্নয়ন কর্মকর্তা ২০২৪]
আদর্শ সমাধান ও উত্তরপত্র
মনেকরি,
বৃত্তটির ব্যাস $= 2r$
∴ ব্যাসার্ধ $= \frac{2r}{2} = r$
∴ ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$
আবার, বৃত্তটির ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে,
নতুন বৃত্তের ব্যাস $= 4 \times 2r = 8r$
∴ ব্যাসার্ধ $= \frac{8r}{2} = 4r$
∴ ক্ষেত্রফল $= \pi \times (4r)^2 = \pi \times 16r^2 = 16 \times \pi r^2 = 16 \times \text{১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল}$
অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।
বৃত্তটির ব্যাস $= 2r$
∴ ব্যাসার্ধ $= \frac{2r}{2} = r$
∴ ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$
আবার, বৃত্তটির ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে,
নতুন বৃত্তের ব্যাস $= 4 \times 2r = 8r$
∴ ব্যাসার্ধ $= \frac{8r}{2} = 4r$
∴ ক্ষেত্রফল $= \pi \times (4r)^2 = \pi \times 16r^2 = 16 \times \pi r^2 = 16 \times \text{১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল}$
অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।
$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ এবং $A = \{2, 4, 6\}$ হলে $A^c$ নির্ণয় কর? [যুব উন্নয়ন অধিদপ্তর (অফিস সহায়ক) ২০২৬]
নোট / ব্যাখ্যা:
পূরক সেট $A^c = U \setminus A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5\}$।
একটি গুণোত্তর ধারা প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে ২৭ ও ৯ হলে ধারাটির পঞ্চম পদ কত? [যুব উন্নয়ন অধিদপ্তর (অফিস সহায়ক) ২০২৬]
নোট / ব্যাখ্যা:
প্রথম পদ $a = ২৭$, সাধারণ অনুপাত $r = \frac{৯}{২৭} = \frac{১}{৩}$। পঞ্চম পদ $= ar^4 = ২৭ \times (\frac{১}{৩})^4 = ২৭ \times \frac{১}{৮১} = \frac{১}{৩}$।
একটি সমবৃত্ত ভূমিক বেলনের উচ্চতা ১০ মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ ৭ মি. হলে এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? [যুব উন্নয়ন অধিদপ্তর (অফিস সহায়ক) ২০২৬]
নোট / ব্যাখ্যা:
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\pi r(h + r) = ২ \times \frac{২২}{৭} \times ৭(১০ + ৭) = ৪৪ \times ১৭ = ৭৪৮ \approx ৭৪৭$ বর্গমিটার।
$f(x) = x^2 + kx^2 - 6x - 9$; $k$ এর মান কত হলে $f(3) = 0$ হবে? [যুব উন্নয়ন অধিদপ্তর (অফিস সহায়ক) ২০২৬]
নোট / ব্যাখ্যা:
প্রশ্নে $f(x) = x^3 + kx^2 - 6x - 9$ হিসেবে মান বসালে: $3^3 + k(3)^2 - 6(3) - 9 = 0 \implies 27 + 9k - 18 - 9 = 0 \implies 9k = 0 \implies k=0$ অথবা প্রশ্নে বিকল্প ও উত্তর অনুযায়ী গ গৃহীত।
একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরল রেখার এক-পঞ্চমাংশের উপরে অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কতগুণ? [যুব উন্নয়ন অধিদপ্তর (অফিস সহায়ক) ২০২৬]
নোট / ব্যাখ্যা:
রেখাটির দৈর্ঘ্য $a$ হলে ক্ষেত্রফল $a^2$। $\frac{a}{5}$ অংশের উপর ক্ষেত্রফল $(\frac{a}{5})^2 = \frac{a^2}{25}$। অনুপাত $= \frac{a^2}{\frac{a^2}{25}} = ২৫$ গুণ।
নাবিল মিষ্টির দোকান থেকে প্রতিকোজি ২৫০ টাকা দরে ২ কেজি মিষ্টি ক্রয় করল। ভ্যাটের হার ৫ টাকা হলে, মিষ্টির ক্রয় বাবদ দোকানীকে কত টাকা দিবে? [যুব উন্নয়ন অধিদপ্তর (অফিস সহায়ক) ২০২৬]
নোট / ব্যাখ্যা:
২ কেজি মিষ্টির দাম $= ২৫০ \times ২ = ৫০০$ টাকা। ৫% ভ্যাট বাবদ $= ৫০০ \times \frac{৫}{১০০} = ২৫$ টাকা। মোট প্রদেয় $= ৫০০ + ২৫ = ৫২৫$ টাকা।
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $x$ এবং অপর একটি বাহু $y$ হলে অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য কত? [যুব উন্নয়ন অধিদপ্তর (অফিস সহায়ক) ২০২৬]
নোট / ব্যাখ্যা:
পীথাগোরাসের উপপাদ্যমতে: $\text{লম্ব}^2 + \text{ভূমি}^2 = \text{অতিভুজ}^2$। সুতরাং অপর বাহু $= \sqrt{x^2 - y^2}$।