$x = \sqrt{৫} + \sqrt{৪}$ হলে, $x^২ + \frac{১}{x^২}$ এর মান কত?
✍️
প্রামাণ্য লিখিত সমাধান ও উত্তরপত্র
পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ আদর্শ লিখিত সমাধান
পূর্ণমান: 2 নম্বর
সমাধান:
দেওয়া আছে,
$x = \sqrt{৫} + \sqrt{৪}$
$\Rightarrow \frac{১}{x} = \frac{১}{\sqrt{৫} + \sqrt{৪}}$ [ব্যস্তকরণ করে]
$= \frac{\sqrt{৫} - \sqrt{৪}}{(\sqrt{৫} + \sqrt{৪})(\sqrt{৫} - \sqrt{৪})}$ [লব ও হরকে $\sqrt{৫} - \sqrt{৪}$ দ্বারা গুণ করে]
$= \frac{\sqrt{৫} - \sqrt{৪}}{(\sqrt{৫})^২ - (\sqrt{৪})^২}$
$= \frac{\sqrt{৫} - \sqrt{৪}}{৫ - ৪}$
$= \sqrt{৫} - \sqrt{৪}$
$\therefore x + \frac{১}{x} = \sqrt{৫} + \sqrt{৪} + \sqrt{৫} - \sqrt{৪} = ২\sqrt{৫}$
$\therefore x^২ + \frac{১}{x^২} = (x + \frac{১}{x})^২ - ২ \cdot x \cdot \frac{১}{x}$
$= (২\sqrt{৫})^২ - ২$
$= ৪ \times ৫ - ২ = ২০ - ২ = ১৮$
দেওয়া আছে,
$x = \sqrt{৫} + \sqrt{৪}$
$\Rightarrow \frac{১}{x} = \frac{১}{\sqrt{৫} + \sqrt{৪}}$ [ব্যস্তকরণ করে]
$= \frac{\sqrt{৫} - \sqrt{৪}}{(\sqrt{৫} + \sqrt{৪})(\sqrt{৫} - \sqrt{৪})}$ [লব ও হরকে $\sqrt{৫} - \sqrt{৪}$ দ্বারা গুণ করে]
$= \frac{\sqrt{৫} - \sqrt{৪}}{(\sqrt{৫})^২ - (\sqrt{৪})^২}$
$= \frac{\sqrt{৫} - \sqrt{৪}}{৫ - ৪}$
$= \sqrt{৫} - \sqrt{৪}$
$\therefore x + \frac{১}{x} = \sqrt{৫} + \sqrt{৪} + \sqrt{৫} - \sqrt{৪} = ২\sqrt{৫}$
$\therefore x^২ + \frac{১}{x^২} = (x + \frac{১}{x})^২ - ২ \cdot x \cdot \frac{১}{x}$
$= (২\sqrt{৫})^২ - ২$
$= ৪ \times ৫ - ২ = ২০ - ২ = ১৮$