k এর মান কত হলে kx2 + 3x + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
একটি রাশি পূর্ণবর্গ হবে যদি তার নিশ্চায়ক (discriminant) শূন্য হয়। দ্বিঘাত রাশি ax2 + bx + c এর নিশ্চায়ক হলো b2 - 4ac।
এখানে, রাশিটি হলো kx2 + 3x + 4। সুতরাং, a = k, b = 3, এবং c = 4।
নিশ্চায়ক শূন্য হলে:
b2 - 4ac = 0
(3)2 - 4(k)(4) = 0
9 - 16k = 0
16k = 9
k = 9/16
কিন্তু প্রশ্নটি একটু ভিন্নভাবে করা হয়েছে। যদি রাশিটি পূর্ণবর্গ হয়, তবে এটি (px + q)2 বা (px - q)2 আকারে প্রকাশ করা যাবে।
kx2 + 3x + 4 কে পূর্ণবর্গ হতে হলে, x2 এর সহগ k এমন হতে হবে যেন পুরো রাশিটি একটি পারফেক্ট স্কয়ার হয়।
যদি আমরা এটিকে (Ax + B)2 = A2x2 + 2ABx + B2 এর সাথে তুলনা করি:
A2 = k
2AB = 3
B2 = 4
B = ±2
যদি B = 2 হয়, তবে 2A(2) = 3 => 4A = 3 => A = 3/4।
তাহলে, k = A2 = (3/4)2 = 9/16।
যদি B = -2 হয়, তবে 2A(-2) = 3 => -4A = 3 => A = -3/4।
তাহলে, k = A2 = (-3/4)2 = 9/16।
সুতরাং, k এর মান 9/16 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
তবে, প্রশ্নে প্রদত্ত বিকল্পগুলিতে 9/16 নেই। বিকল্পগুলি দেখে মনে হচ্ছে প্রশ্নটি আসলে 4x2 + 3x + k বা kx2 + 4x + 3 ধরণের কিছু হতে পারে, অথবা প্রশ্নটি ax2 + bx + c এর নিশ্চায়ক শূন্য হওয়ার শর্তের উপর ভিত্তি করে তৈরি, যেখানে k অন্য কোনো স্থানে আছে।
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 4x2 + 3x + k রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
a = 4, b = 3, c = k
b2 - 4ac = 0
(3)2 - 4(4)(k) = 0
9 - 16k = 0
16k = 9
k = 9/16
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: kx2 + 4x + 3 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
a = k, b = 4, c = 3
b2 - 4ac = 0
(4)2 - 4(k)(3) = 0
16 - 12k = 0
12k = 16
k = 16/12 = 4/3
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 3x2 + kx + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
a = 3, b = k, c = 4
b2 - 4ac = 0
(k)2 - 4(3)(4) = 0
k2 - 48 = 0
k2 = 48
k = ±√48 = ±4√3
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 4x2 + kx + 3 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
a = 4, b = k, c = 3
b2 - 4ac = 0
(k)2 - 4(4)(3) = 0
k2 - 48 = 0
k2 = 48
k = ±√48 = ±4√3
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 3x2 + 4x + k রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
a = 3, b = 4, c = k
b2 - 4ac = 0
(4)2 - 4(3)(k) = 0
16 - 12k = 0
12k = 16
k = 16/12 = 4/3
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: kx2 + 3x + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে এবং k এর মান ঋণাত্মক হবে?
a = k, b = 3, c = 4
b2 - 4ac = 0
(3)2 - 4(k)(4) = 0
9 - 16k = 0
16k = 9
k = 9/16 (এটি ধনাত্মক)
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: 4x2 + 3x + k রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে এবং k এর মান ঋণাত্মক হবে?
a = 4, b = 3, c = k
b2 - 4ac = 0
(3)2 - 4(4)(k) = 0
9 - 16k = 0
16k = 9
k = 9/16 (এটি ধনাত্মক)
যদি প্রশ্নটি এমন হয়: kx2 + 3x - 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
a = k, b = 3, c = -4
b2 - 4ac = 0
(3)2 - 4(k)(-4) = 0
9 + 16k = 0
16k = -9
k = -9/16
এই ক্ষেত্রে, k এর মান -9/16 হবে, যা বিকল্প (খ) এর সাথে মিলে যায়।
সুতরাং, ধরে নেওয়া হচ্ছে প্রশ্নটি আসলে kx2 + 3x - 4 রাশিটির পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত জানতে চেয়েছে, অথবা প্রশ্নে একটি মুদ্রণ ত্রুটি রয়েছে।
প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে, k = -9/16 হলে kx2 + 3x - 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।