চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

চায়ের কাপের হ্যান্ডেলটি প্রথমে পূর্ব দিকে ছিল। ঘড়ির কাঁটার দিকে (Clockwise) ১৮০° ঘোরানো মানে ঠিক বিপরীত দিকে চলে যাওয়া। পূর্ব দিকের বিপরীত দিক হলো পশ্চিম দিক।

১ বছর = ১২ মাস। ১০০ মাসের মধ্যে বছর আছে $100 \div 12 = 8$ বছর এবং অবশিষ্ট থাকে $100 - (8 \times 12) = 4$ মাস। এখন জানুয়ারি মাস থেকে ৮ বছর পর একই মাস অর্থাৎ জানুয়ারি হবে এবং তার সাথে আরও ৪ মাস যোগ করলে জানুয়ারি + ৪ মাস = মে মাস হবে।

২৯ ফেব্রুয়ারি শুধুমাত্র অধিবর্ষ বা লিপ ইয়ারে (Leap Year)-এ আসে। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে কেবল ২০০৪ সালটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য এবং এটি একটি লিপ ইয়ার।

পেন্সিলটি রয়েছে বাক্সের ভেতরে এবং বাক্সটি রয়েছে তাকের উপরে। যেহেতু তাকটি জানালার নিচে অবস্থিত, তাই পরোক্ষভাবে পেন্সিলটিও জানালার নিচে অবস্থান করছে।

নির্দিষ্ট পরিসীমা বা সমান দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে, আয়তক্ষেত্রের চেয়ে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা বেশি হয়। যেমন: ২০ একক পরিসীমা হলে বর্গক্ষেত্রের বাহু ৫ এবং ক্ষেত্রফল ২৫, আর আয়তক্ষেত্রের বাহু ৬ ও ৪ হলে ক্ষেত্রফল ২৪।

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: $$\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{\sqrt{৩}}{৪} a^২$$ যেখানে $a$ হলো বাহুর দৈর্ঘ্য।

এখানে বাহুর দৈর্ঘ্য $a = ৮$ মিটার। অতএব: $$\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{\sqrt{৩}}{৪} \times (৮)^২ = \frac{\sqrt{৩}}{৪} \times ৬৪ = \mathbf{১৬\sqrt{৩} \text{ বর্গমিটার}}$$

প্রদত্ত শব্দটি হলো ABSCISSA। এখানে মোট বর্ণ সংখ্যা $n = ৮$ টি।

বর্ণগুলির পুনরাবৃত্তি:

• A আছে ২ বার
• S আছে ৩ বার
• B, C, I আছে ১ বার করে

সুতরাং, পুনরাবৃত্ত বর্ণসহ মোট বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র: $$\text{বিন্যাস সংখ্যা} = \frac{n!}{p! \times q!} = \frac{৮!}{২! \times ৩!}$$

$$= \frac{৪০৩২০}{২ \times ৬} = \frac{৪০৩২০}{১২} = \mathbf{৩৩৬০}$$

একটি সেট A এর উপসেট হলো এমন একটি সেট যার সকল সদস্য A এর সদস্য। প্রকৃত উপসেট (proper subset) হলো সেই উপসেট যা মূল সেটের সমান নয়।

প্রদত্ত সেটটি হলো S = {2, 3, 4}।

এই সেটের মোট উপসেট সংখ্যা হলো 2ⁿ, যেখানে n হলো সেটের সদস্য সংখ্যা। এখানে n = 3।

সুতরাং, মোট উপসেট সংখ্যা = 2³ = 8।

উপসেটগুলি হলো: {}, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4}।

প্রকৃত উপসেট হলো সেইগুলি যা মূল সেটের সমান নয়। অর্থাৎ, {2, 3, 4} বাদ দিয়ে বাকি সব উপসেট।

সুতরাং, প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = মোট উপসেট সংখ্যা - 1 = 8 - 1 = 7।

প্রদত্ত সমীকরণ: $x + \frac{১}{x} = 0$

আমরা জানি, $$\left(\sqrt{x} + \frac{১}{\sqrt{x}}\right)^২ = (\sqrt{x})^২ + ২(\sqrt{x})\left(\frac{১}{\sqrt{x}}\right) + \left(\frac{১}{\sqrt{x}}\right)^২$$

$$= x + ২ + \frac{১}{x} = \left(x + \frac{১}{x}\right) + ২$$

যেহেতু $x + \frac{১}{x} = 0$, তাই: $$\left(\sqrt{x} + \frac{১}{\sqrt{x}}\right)^২ = 0 + ২ = ২$$

উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই: $$\sqrt{x} + \frac{১}{\sqrt{x}} = \mathbf{\pm\sqrt{২}}$$ (ধনাত্মক মান বিবেচনা করলে $\mathbf{\sqrt{২}}$)।

চিত্রটিতে একটি সমকোণী ত্রিভুজ দেখানো হয়েছে। সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ (hypotenuse) হলো বৃহত্তম বাহু। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ, a² + b² = c², যেখানে c হলো অতিভুজ।

এখানে, দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 এবং 4 একক। আমরা অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব।

c² = 3² + 4²

c² = 9 + 16

c² = 25

c = √25 = 5

সুতরাং, ত্রিভুজটির বাহুগুলির দৈর্ঘ্য হলো 3, 4 এবং 5।

প্রদত্ত শর্ত হলো 0 < x < 1। এর মানে হলো x একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ যার মান 1 এর চেয়ে কম।

আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করি:

• x: এটি একটি ভগ্নাংশ যা 0 থেকে 1 এর মধ্যে।
• 2x: এটি x এর দ্বিগুণ। যেহেতু x < 1, তাই 2x < 2। তবে, যদি x = 0.6 হয়, তবে 2x = 1.2, যা x এর চেয়ে বড়। কিন্তু যদি x = 0.4 হয়, তবে 2x = 0.8, যা x এর চেয়ে বড়।
• x²: যেহেতু 0 < x < 1, তাই x² এর মান x এর চেয়ে ছোট হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি x = 0.5 হয়, তবে x² = 0.25।
• x + 1: যেহেতু x একটি ধনাত্মক সংখ্যা, তাই x + 1 সবসময় 1 এর চেয়ে বড় হবে এবং x এর চেয়েও বড় হবে।

প্রশ্নটি 'সবচেয়ে বড়' জানতে চেয়েছে। যেহেতু x < 1, তাই x + 1 সবসময় 1 এর চেয়ে বড় হবে এবং x এর চেয়েও বড় হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি x = 0.5 হয়, তবে x + 1 = 1.5, যা অন্য সব বিকল্পের চেয়ে বড়।

দুটি সরলরেখা $a_১x + b_১y + c_১ = 0$ এবং $a_২x + b_২y + c_২ = 0$ পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢাল সমান হওয়া, অর্থাৎ: $$\frac{a_১}{a_২} = \frac{b_১}{b_২} \neq \frac{c_১}{c_২}$$

এখানে সমীকরণদ্বয়: $৫x + ৪y - ১ = 0$ এবং $২x + Ky - ৭ = 0$

সুতরাং $a_১ = ৫, b_১ = ৪$ এবং $a_২ = ২, b_২ = K$। শর্তানুসারে: $$\frac{৫}{২} = \frac{৪}{K} \implies ৫K = ৮ \implies K = \mathbf{\frac{৮}{৫}}$$