চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

ধরি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অনুপাত $= r$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ = $ar^{n-1}$

পঞ্চম পদ = $ar^{5-1} = ar^4 = 32$ --- (১)

অষ্টম পদ = $ar^{8-1} = ar^7 = 256$ --- (২)

এখন, সমীকরণ (২)-কে সমীকরণ (১) দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{ar^7}{ar^4} = \frac{256}{32}$

বা, $r^3 = 8$

বা, $r^3 = 2^3$

∴ r = 2$

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:

(1) $ax + by = a^2$

(2) $bx - ay = ab$

সমীকরণ (1)-কে $a$ দ্বারা এবং সমীকরণ (2)-কে $b$ দ্বারা গুণ করে যোগ করি:

$a(ax + by) = a^3 \implies a^2x + aby = a^3$

$b(bx - ay) = b(ab) \implies b^2x - aby = ab^2$

যোগ করে পাই: $a^2x + b^2x = a^3 + ab^2$

বা, $x(a^2 + b^2) = a(a^2 + b^2)$

∴ x = a$

এখন $x = a$ এর মান সমীকরণ (1)-এ বসাই:

$a(a) + by = a^2$

বা, $a^2 + by = a^2$

বা, $by = 0$

∴ y = 0$

সমাধান $(x, y) = (a, 0)$।

দেওয়া আছে, $M = \{a, b, 1, 2\}$ এবং $N = \{1, 2\}$

আমাদের নির্ণয় করতে হবে $N - M$ (সেট অন্তর বা Difference of sets)।

সেট অন্তরের নিয়ম হলো, $N - M$ সেটে কেবল সেই উপাদানগুলো থাকবে যা সেট $N$-এ আছে কিন্তু সেট $M$-এ নেই।

এখানে $N$-এর উপাদান {1, 2} সবই $M$-সেটে বিদ্যমান।

∴ N - M = \{1, 2\} - \{a, b, 1, 2\} = \{ \} = \emptyset$ (ফাঁকা সেট)।

বাক্সে মোট বল রয়েছে:

লাল = ৮টি

নীল = ৩টি

হলুদ = ২টি

সবুজ = ১টি

নিশ্চিতভাবে কমপক্ষে একটি লাল বল পাওয়ার জন্য আমাদের 'Worst Case' বা সবচেয়ে প্রতিকূল পরিস্থিতি বিবেচনা করতে হবে। অর্থাৎ, প্রথম দফায় যদি ভাগ্য খারাপ থাকে তবে লাল বাদে বাকী সব বল একে একে উঠে আসতে পারে।

লাল বাদে অন্যান্য বলের সংখ্যা = ৩ + ২ + ১ = ৬টি।

এই ৬টি বল তোলার পর বাক্সে আর কেবল লাল বলগুলোই থাকবে। সুতরাং, পরবর্তী অর্থাৎ ৭ম বলটি তুললে নিশ্চিতভাবেই তা লাল বল হবে।

∴ কমপক্ষে ৭টি বল তুলতে হবে।

প্রদত্ত অসমতা: $x^2 + 6x - 27 < 0$

মিডল টার্ম ব্রেক করে পাই:

$x^2 + 9x - 3x - 27 < 0$

বা, $x(x + 9) - 3(x + 9) < 0$

বা, $(x + 9)(x - 3) < 0$

অসমতার নিয়ম অনুযায়ী, যদি $(x - a)(x - b) < 0$ হয় (যেখানে $a < b$), তবে সমাধান হবে $a < x < b$।

এখানে, $-9 < x < 3$, যা ইন্টারভাল বা ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: $(-9, 3)$।

ধري، সমান্তর ধারার প্রথম পদ $= a$ এবং সাধারণ অন্তর $= d$

আমরা জানি, $n$-তম পদ = $a + (n - 1)d$

৪র্থ পদ = $a + 3d$ এবং ১২তম পদ = $a + 11d$

প্রশ্নমতে, $(a + 3d) + (a + 11d) = 20$

বা, $2a + 14d = 20$

বা, $a + 7d = 10$ --- (১)

এখন, প্রথম ১৫ পদের সমষ্টি $S_{15} = \frac{15}{2} \{2a + (15 - 1)d\} = \frac{15}{2} (2a + 14d) = 15 \times (a + 7d)$

সমীকরণ (১) থেকে মান বসিয়ে পাই,

$S_{15} = 15 \times 10 = 150$

ধরি, দ্বিতীয় কোণটি = $x$

তাহলে, প্রথম কোণ = $\frac{x}{2}$

প্রশ্নমতে, তৃতীয় কোণ = $3 \times (\text{প্রথম কোণ} - \text{দ্বিতীয় কোণ})$ = $3 \times (x - \frac{x}{2}) = 3 \times \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

∴ \frac{x}{2} + x + \frac{3x}{2} = 180^{\circ}$

বা, $\frac{x + 2x + 3x}{2} = 180^{\circ}$

বা, $\frac{6x}{2} = 180^{\circ}$

বা, $3x = 180^{\circ}$

∴ x = 60^{\circ}$

দেওয়া আছে, $\log_x 4 = -2$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, $x^{-2} = 4$

বা, $\frac{1}{x^2} = 4$

বা, $4x^2 = 1$

বা, $x^2 = \frac{1}{4}$

∴ x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$

যেহেতু লগারিদমের ভিত্তি ($x$) ঋণাত্মক বা ১ হতে পারে না, তাই $x = \frac{1}{2}$।

বড় গোলকের ব্যাসার্ধ = $R$ হলে, বড় গোলকের আয়তন $V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3$

ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ $r = \frac{R}{2}$ হলে, একটি ছোট গোলকের আয়তন $V_2 = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{8}$

ছোট গোলকের সংখ্যা = $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{8}} = 8$ টি।

দেওয়া আছে, ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $6a^2 = 48$

বা, $a^2 = \frac{48}{6} = 8$

বা, বাহু $a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ মিটার

আমরা জানি, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{3}a$

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} = 2\sqrt{6}$ মিটার।

প্রাচীন চীনে প্রথম সিভিল সার্ভিসের ধারণা এবং লিখিত পরীক্ষার মাধ্যমে সরকারি কর্মকর্তা নিয়োগ প্রথা উদ্ভূত হয়েছিল, যা হান রাজবংশ ও পরবর্তীতে সুই ও তাং রাজবংশের সময়ে প্রাতিষ্ঠানিক রূপ লাভ করে।

কুর্দিস্তান ওয়ার্কার্স পার্টি বা PKK-এর প্রতিষ্ঠাতা হলেন আবদুল্লাহ ওচালান (Abdullah Öcalan), যিনি ১৯৭৮ সালে এই সশস্ত্র গোষ্ঠীটি প্রতিষ্ঠা করেন।