চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

অসমতা বা মডুলাসের নিয়ম অনুযায়ী:

$|3x - 1| < 2$

$\implies -2 < 3x - 1 < 2$

এখন পুরো অসমতার সাথে $1$ যোগ করি:

$-2 + 1 < 3x < 2 + 1$

$\implies -1 < 3x < 3$

এখন পুরো অসমতাকে $3$ দ্বারা ভাগ করি:

$-\frac{1}{3} < x < 1$

অতএব, সমাধান সেট হবে: $\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$

দেওয়া আছে, সেট $A = \{x : x \text{ স্বাভাবিক সংখ্যা এবং } x \le 5\}$

তাহলে, তালিকা পদ্ধতিতে সেটটি হবে: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

সেট $A$-এর উপাদান সংখ্যা, $n(A) = 5$

আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হলে, তার শক্তি সেট বা পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা হয় $2^n$।

অতএব, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা = $2^5 = 32$

দ্বিঘাত রাশি $ax^2 + bx + c$ এর চরম মান (সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন) নির্ণয়ের সূত্র হলো: $\frac{4ac - b^2}{4a}$

এখানে রাশিটি হলো: $2x^2 + 3x + 1$

তুলনা করে পাই, $a = 2, b = 3, c = 1$ (যেহেতু $a > 0$, তাই রাশির সর্বনিম্ন বা ক্ষুদ্রতম মান থাকবে)।

ক্ষুদ্রতম মান = $\frac{4(2)(1) - (3)^2}{4(2)} = \frac{8 - 9}{8} = -\frac{1}{8}$

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) অনুসারে, কোনো বহুপদী $f(x)$ কে $(x - a)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $f(a)$।

এখানে, $f(x) = x^4 - 2x + 1$ এবং ভাজক $x - 3$, অর্থাৎ $a = 3$।

ভাগশেষ = $f(3) = (3)^4 - 2(3) + 1$

$= 81 - 6 + 1$

$= 76$

দেওয়া আছে, $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ এবং $\frac{b}{c} = \frac{2}{3}$

আমাদের $a : c$ অর্থাৎ $\frac{a}{c}$ এর মান বের করতে হবে।

$\frac{a}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c}$

$\frac{a}{c} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

অতএব, $a : c = 4 : 9$

40 থেকে 50 এর মধ্যে মোট সংখ্যা রয়েছে: $50 - 40 + 1 = 11$ টি (সংখ্যাগুলো হলো: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50)।

এই সীমার মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 41, 43, 47 (মোট 3 টি)।

মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{অনুকূল ফলাফল}}{\text{মোট সম্ভাব্য ফলাফল}} = \frac{3}{11}$

লগারিদম এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:

$\log_x 324 = 4$

$\implies x^4 = 324$

এখন বিকল্প পরীক্ষা করে অথবা উভয় পাশে চতুর্থ মূল (4th root) করে পাই:

$x = \sqrt[4]{324} = \sqrt[4]{18^2} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

পরীক্ষা করে দেখি: $(3\sqrt{2})^4 = 3^4 \times (\sqrt{2})^4 = 81 \times 4 = 324$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$ বা $\pi$ রেডিয়ান।

প্রশ্নমতে, $x + \frac{x}{2} + \frac{3x}{2} = \pi$

বা, $\frac{2x + x + 3x}{2} = \pi$

বা, $\frac{6x}{2} = \pi$

বা, $3x = \pi \implies x = \frac{\pi}{3}$

তিনটি কোণের মান:

১ম কোণ = $x = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

২য় কোণ = $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} = 30^\circ$

৩য় কোণ = $\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$

ক্ষুদ্রতম কোণ হলো $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6}$

ভগ্নাংশের ল.সা.গু নির্ণয়ের সূত্র:

$\text{ল.সা.গু} = \frac{\text{লবগুলোর ল.সা.গু}}{\text{হরগুলোর গ.সা.গু}}$

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো হলো: $\frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{6}{15}$

এখানে শেষের ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করলে হয়: $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

তাহলে ভগ্নাংশগুলো হলো: $\frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{2}{5}$

লবগুলোর ল.সা.গু: $(2, 3, 2)$ এর ল.সা.গু = $6$

হরগুলোর গ.সা.গু: $(5, 5, 5)$ এর গ.সা.গু = $5$

অতএব, নির্ণেয় ল.সা.গু = $\frac{6}{5}$

প্রথমে সংখ্যাগুলোর গড় নির্ণй করি:

গড় $(\mu) = \frac{2 + 3 + 4 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$

গড় বিচ্যুতি (Mean Deviation from Mean) নির্ণয়ের সূত্র: $\frac{\sum |x_i - \mu|}{n}$

প্রতিটি সংখ্যার সাথে গড়ের পার্থক্যের পরম মান:

$|2 - 4| = 2$

$|3 - 4| = 1$

$|4 - 4| = 0$

$|7 - 4| = 3$

যোগফল = $2 + 1 + 0 + 3 = 6$

অতএব, গড় বিচ্যুতি = $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

'Break' শব্দটি একই সাথে transitive (সকর্মক) এবং intransitive (অকর্মক) verb হিসেবে ব্যবহৃত হতে পারে। যখন এর সাথে object থাকে এবং কোনো কিছুর ক্ষতি করা বা ভাঙা বোঝায়, তখন এটি transitive। যখন এটি নিজে থেকেই ভেঙে যাওয়া বা ভেঙে যাওয়া অবস্থা বোঝায়, তখন এটি intransitive।

'Monarch' শব্দটি common gender (উভয়লিঙ্গ) বিশেষ্য। এটি পুরুষ (রাজা) বা মহিলা (রানী) উভয়কেই বোঝাতে পারে। যখন নির্দিষ্ট করে পুরুষ বা মহিলা বোঝানোর প্রয়োজন হয়, তখন 'king' বা 'queen' শব্দ ব্যবহার করা হয়।