প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা ২০২৪ (২য় ধাপ)

মাথাপিছু জিডিপি নির্ণয়ের সূত্র হলো মোট জিডিপিকে মোট জনসংখ্যা দ্বারা ভাগ করা। এখানে, মোট জিডিপি = $৭.৫$ বিলিয়ন = $৭,৫০০$ মিলিয়ন মার্কিন ডলার এবং জনসংখ্যা = $১.৮৫$ মিলিয়ন। ∴ মাথাপিছু জিডিপি = $\frac{৭,৫০০}{১.৮৫} = ৪,০৫৪.০৫$ মার্কিন ডলার, যা নিকটতম $৪০৫৪$ মার্কিন ডলারের সমান।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হলো $\sqrt{2} \times \text{বাহু}$। এখানে বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $৪$ মিটার। ∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = $४\sqrt{2}$ মিটার।

আমরা জানি, $১$ মিলিয়ন = $১০,০০,০০০০$ ($১০^৬$) এবং $১$ বিলিয়ন = $১,০০,০০,০০,০০০$ ($১০^৯$)। এখন, $\frac{১ \text{ মিলিয়ন}}{১ \text{ বিলিয়ন}} = \frac{১০^৬}{১০^৯} = \frac{১}{১০^৩} = \frac{১}{১০০০} = ০.০০১$ বিলিয়ন। ∴ $১$ মিলিয়ন = $০.০০১$ বিলিয়ন।

এখানে মোট বইয়ের সংখ্যা = $12$ টি এবং বাছাই করতে হবে = $5$ টি। যেহেতু প্রশ্নানুযায়ী নির্দিষ্ট ২টি বই সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে, সেহেতু ওই ২টি বইয়ের কোনো বিকল্প বা বাছাবাছির সুযোগ নেই। এই ২টি বই নির্দিষ্টভাবে বাছাই করা বইয়ের মধ্যে থাকবেই।

বাছাই করার মোট বই $5$ টি থেকে নির্দিষ্ট ২টি বই বাদ দিলে আর বাকি থাকে $5-2=3$ টি বই। অন্যদিকে, মোট ১২টি বই থেকে ওই নির্দিষ্ট ২টি বই বাদ দিলে অবশিষ্ট বই থাকে $12-2=10$ টি।

এখন, অবশিষ্ট ১০টি বই থেকে বাকি ৩টি বই বাছাই করার উপায় হবে কম্বিনেশনের সূত্র অনুযায়ী $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)$।

হিসাব করে পাই, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=\frac{720}{6}=120$।

সুতরাং, নির্ণেয় বাছাইয়ের সংখ্যা ১২০। সঠিক উত্তর গ।

যেকোনো ক্ষেত্রের মাত্রা নির্ভর করে তার লম্ব বা অক্ষের সংখ্যার ওপর। এখানে দৈর্ঘ্য ($২$ মিটার) ও প্রস্থ ($১$ মিটার) থাকলেও উচ্চতা শূন্য ($০$) দেওয়া আছে। অর্থাৎ ক্ষেত্রটির কোনো ত্রিমাত্রিক বিস্তার বা গভীরতা নেই, কেবল সমতলে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর বিস্তার আছে। ∴ ক্ষেত্রটি একটি দ্বি-মাত্রিক (Two-dimensional) ক্ষেত্র।

প্রথমে ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর লসাগু (L.C.M) নির্ণয় করতে হবে। ২৪ = $২^৩ \times ৩$, ৩৬ = $২^২ \times ৩^২$, ৪৮ = $২^৪ \times ৩$। লসাগু = $২^৪ \times ৩^২ = ১৬ \times ৯ = ১৪৪$। এখন, যে লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ২৪, ৩৬ ও ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে, সেই সংখ্যাটি লসাগু অপেক্ষা ৩ কম হবে। ∴ সংখ্যাটি = ১৪৪ - ৩ = ১৪১।

ট্রেনের গতিবেগ ঘন্টায় ১০০ কিমি, অর্থাৎ ট্রেনটি ১ ঘন্টায় বা ৬০ মিনিটে অতিক্রম করে ১০০ কিমি। ∴ ৩০ মিনিট বা আধা ঘণ্টায় ট্রেনটি অতিক্রম করবে $\frac{১০০}{২} = ৫০$ কিমি। এখানে ট্রেনের দৈর্ঘ্য (২০০ মিটার) অতিরিক্ত দূরত্ব হিসেবে ধরার প্রয়োজন নেই কারণ ৩০ মিনিটে অতিক্রান্ত দূরত্বের তুলনায় এটি নগণ্য অথবা সরাসরি দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য গতির হার ও সময় যথেষ্ট।

ধরি, কলমের মূল্য = $x$ টাকা। তাহলে কাগজের মূল্য = $(x - ৪০)$ টাকা। প্রশ্নমতে, $x + (x - ৪০) = ২৪০ \R→ ২x - ৪০ = ২৪০ \R→ ২x = ২৮০ \R→ x = ১৪০$ টাকা। ∴ কলমের মূল্য ১৪০ টাকা।

যে চতুর্ভুজের কেবল এক জোড়া বা দুটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল এবং অপর দুই বিপরীত বাহু অসমান্তরাল, তাকে ট্রাপিজিয়াম (Trapezium) বলা হয়।

প্রদত্ত রাশিটি হলো: $0.5+0.05+0.005\times 0.5\times 0.05\times 0.005$

বদমাস (BODMAS) নিয়ম অনুযায়ী প্রথমে গুণের কাজ এবং পরে যোগের কাজ করতে হবে।

প্রথমে শেষ অংশের গুণফল নির্ণয় করি:

$0.005\times 0.5\times 0.05\times 0.005$

= $0.0025\times 0.05\times 0.005$

= $0.000125\times 0.005$

= $0.000000625$

এবার প্রাপ্ত গুণফলটির সাথে প্রথম দুটি সংখ্যা যোগ করি:

$0.5+0.05+0.000000625$

= $0.55+0.000000625$

∴ $0.550000625$

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো 'খ'।

প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + x^2 = \frac{x(x + 1)(2x + 1)}{6}$। এটি বীজগণিতের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র যা বিসিএস ও ব্যাংক নিয়োগ পরীক্ষায় সরাসরি মান নির্ণয়ের জন্য আসে।

প্রশ্নে বলা হয়েছে $x < 4$, অর্থাৎ $x$-এর মান ৪ এর চেয়ে ছোট হতে হবে। অপশনগুলোতে প্রদত্ত মানগুলোর মধ্যে $0 < 4$ সত্য এবং $3 < 4$ ও সত্য। আবার ঋণাত্মক সংখ্যা সবসময় ধনাত্মক সংখ্যা অপেক্ষা ছোট হয়, তাই $-4 < 4 ও সত্য। যেহেতু ০, ৩ এবং -4 তিনটি মানেই শর্তটি পূরণ করে, তাই সঠিক উত্তর হবে 'সবগুলোই'।

আমরা জানি, $১\text{ গ্রাম} = ১০০০\text{ মিলিগ্রাম}$।
∴ ৫ গ্রাম = $৫ \times ১০০০\text{ মিলিগ্রাম} = ৫০০০\text{ মিলিগ্রাম}$।
যেহেতু অপশনগুলোতে ৫০০০ নেই, তাই সঠিক উত্তর হবে 'কোনটিই নয়'।

১ হতে ২০ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের জন্য সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র ব্যবহার করা যায়।
পদসংখ্যা $n = ২০$, প্রথম পদ $a = ১$, শেষ পদ $p = ২০$
সমষ্টি = $\frac{n(n + 1)}{2} = \frac{20(20 + 1)}{2} = \frac{20 \times 21}{2} = ১০ \times ২১ = ২১০$।

দেওয়া আছে, $x = 3y$
প্রথম সমীকরণ: $x + 5y = 24$
এখন $x$-এর মান বসিয়ে পাই, $3y + 5y = 24$
⇒ $8y = 24$
⇒ $y = \frac{24}{8} = 3$

ক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
∴ ক্ষতি = $\text{ক্রয়মূল্য} - \text{বিক্রয়মূল্য} = ১২০ - ১০০ = ২০\text{ টাকা}$।
ক্ষতির শতকরা হার = $\left( \frac{\text{ক্ষতি}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times ১০০ \right)\% $
$\R→ \left( \frac{20}{120} \times 100 \right)\% = \left( \frac{1}{6} \times 100 \right)\% = \frac{50}{3}\% = ১৬.৬৭\% $

ধরি, পর পর তিনটি সংখ্যা হলো $(x - 1)$, $x$ এবং $(x + 1)$।
প্রশ্নমতে, $(x - 1) \cdot x \cdot (x + 1) = 120$
⇒ $x(x^2 - 1) = 120$
⇒ $x^3 - x - 120 = 0$
এখানে ১২০-এর কাছাকাছি পূর্ণসংখ্যার ঘন হলো $5^3 = 125$। তাই $x = 5$ হলে, $5(25 - 1) = 5 \times 24 = 120$ মিলে যায়।
সংখ্যা তিনটি হলো: $5 - 1 = 4$, $5$, এবং $5 + 1 = 6$।
সংখ্যা তিনটির যোগফল = $4 + 5 + 6 = 15$।

ধরি, অপর রাশিটি = $100$
তাহলে প্রথম রাশিটি = $100$-এর ৬৪% = $64$
রাশি দুটির অনুপাত = $64 : 100$
উভয় পক্ষকে ৪ দ্বারা ভাগ করে পাই, $\frac{64}{4} : \frac{100}{4} = 16 : 25$

মূল্য হ্রাসের ক্ষেত্রে খরচ অপরিবর্তিত রাখতে ব্যবহারের পরিমাণ বৃদ্ধির শতকরা হার নির্ণয়ের শর্টকাট সূত্র:
বৃদ্ধি = $\frac{r}{100 - r} \times 100\% $
এখানে $r = ১০$
∴ বৃদ্ধি = $\frac{10}{100 - 10} \times 100\% = \frac{10}{90} \times 100\% = \frac{100}{9}\% = ১১\frac{১}{৯}\% $