বিএসটিআই (ইউডিসি কাম ক্যাশিয়ার)

প্রদত্ত সমীকরণ: $\frac{a}{x - a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x - a - b}$
বা, $\frac{a}{x - a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a}{x - a - b} + \frac{b}{x - a - b}$
বা, $\frac{a}{x - a} - \frac{a}{x - a - b} = \frac{b}{x - a - b} - \frac{b}{x - b}$
বা, $a \left( \frac{1}{x - a} - \frac{1}{x - a - b} \right) = b \left( \frac{1}{x - a - b} - \frac{1}{x - b} \right)$
বা, $a \left( \frac{x - a - b - (x - a)}{(x - a)(x - a - b)} \right) = b \left( \frac{x - b - (x - a - b)}{(x - a - b)(x - b)} \right)$
বা, $a \left( \frac{x - a - b - x + a}{(x - a)(x - a - b)} \right) = b \left( \frac{x - b - x + a + b}{(x - a - b)(x - b)} \right)$
বা, $a \left( \frac{-b}{(x - a)(x - a - b)} \right) = b \left( \frac{a}{(x - a - b)(x - b)} \right)$
উভয়পক্ষকে $ab$ দ্বারা ভাগ করে এবং $x - a - b \neq 0$ বিবেচনা করে পাই,
বা, $\frac{-1}{(x - a)(x - a - b)} = \frac{1}{(x - a - b)(x - b)}$
বা, $- (x - b) = x - a$
বা, $-x + b = x - a$
বা, $-x - x = -a - b$
বা, $-2x = -a - b$
বা, $2x = a + b$
∴ $x = \frac{a + b}{2}$
নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{a + b}{2}$

দেওয়া আছে, $p + q + r = 0$
বা, $p + q = -r$
বা, $q + r = -p$
বা, $r + p = -q$
প্রদত্ত রাশি: $\frac{(p + q)^2}{3pq} + \frac{(q + r)^2}{3qr} + \frac{(r + p)^2}{3rp}$
মান বসিয়ে পাই, $=\frac{(-r)^2}{3pq} + \frac{(-p)^2}{3qr} + \frac{(-q)^2}{3rp}$
$=\frac{r^2}{3pq} + \frac{p^2}{3qr} + \frac{q^2}{3rp}$
$=\frac{r^3 + p^3 + q^3}{3pqr}$ (যেহেতু হরগুলোর লসাগু $3pqr$)
$=\frac{p^3 + q^3 + r^3}{3pqr}$
আমরা জানি, যদি $p + q + r = 0$ হয়, তবে $p^3 + q^3 + r^3 = 3pqr$
∴ প্রদত্ত রাশির মান $= \frac{3pqr}{3pqr} = 1$
(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
মিতা একটি কাজ করে ১০ দিনে
∴ মিতা ১ দিনে করে সমগ্র কাজের $\frac{1}{10}$ অংশ

রিতা ঐ একই কাজ করে ১৫ দিনে
∴ রিতা ১ দিনে করে সমগ্র কাজের $\frac{1}{15}$ অংশ

রিতা কাজটি ৫ দিন করার পর বাকী কাজ উভয়ে কত দিনে করতে পারবে তা নির্ণয় করতে হবে।

রিতা ১ দিনে করে $\frac{1}{15}$ অংশ
∴ রিতা ৫ দিনে করে $\frac{5}{15}$ অংশ = $\frac{1}{3}$ অংশ

কাজ বাকি থাকে = $1 - \frac{1}{3}$ অংশ = $\frac{3 - 1}{3}$ অংশ = $\frac{2}{3}$ অংশ

মিতা ও রিতা একত্রে ১ দিনে করে $\left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right)$ অংশ
বা, মিতা ও রিতা একত্রে ১ দিনে করে $\frac{3 + 2}{30}$ অংশ = $\frac{5}{30}$ অংশ = $\frac{1}{6}$ অংশ

এখন,
$\frac{1}{6}$ অংশ কাজ করে মিতা ও রিতা একত্রে ১ দিনে
∴ সম্পূর্ণ বা ১ অংশ কাজ করে মিতা ও রিতা একত্রে $1 \times 6$ দিনে = ৬ দিনে
∴ বাকী $\frac{2}{3}$ অংশ কাজ করতে মিতা ও রিতা একত্রে সময় লাগবে = $\frac{2}{3} \times 6$ দিন = ৪ দিন

নির্ণেয় উত্তর: ৪ দিন।

দেওয়া আছে, ১০টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ৫০ টাকা
∴ ১টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = $\frac{50}{10}$ টাকা = ৫ টাকা
৫০% ক্ষতিতে, লেবুর ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের তুলনায় বেশি হবে।
যেহেতু ক্ষতি ৫০%, সেহেতু ১০০ টাকা ক্রয়মূল্য হলে বিক্রয়মূল্য হবে $100 - 50 = $ ৫০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ৫০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = $\frac{100}{50}$ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = $\frac{100 \times 5}{50}$ টাকা = ১০ টাকা
অর্থাৎ, ১টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১০ টাকা।
এখন, ৫টি লেবুর ক্রয়মূল্য = $10 \times 5 =$ ৫০ টাকা।
শর্তমতে, ৫০ টি লেবু পুনরায় বিক্রি করতে হবে ৫০ টাকায়। অর্থাৎ, ৫টি লেবুর নতুন বিক্রয়মূল্য = ৫০ টাকা।
এখানে, ৫টি লেবুর ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা এবং ৫টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ৫০ টাকা।
যেহেতু ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্য সমান, সেহেতু এক্ষেত্রে কোনো লাভ বা ক্ষতি হবে না।
নির্ণেয় উত্তর: শতকরা লাভ বা ক্ষতি হবে না (০%)।