সংস্কৃতি বিষয়ক মন্ত্রণালয় (অফিস সহায়ক)

সমাধান:
৬০ জন ছাত্র-ছাত্রীর গড় নম্বর = ৪৩

$\therefore$ ৬০ জন ছাত্র-ছাত্রীর মোট নম্বর = $৪৩ \times ৬০ = ২৫৮০$

ধরি, ফেল করেছে = $x$ জন

তাহলে পাস করেছে = $(৬০ - x)$ জন

$\therefore$ পাস করা ছাত্র-ছাত্রীদের মোট নম্বর = $(৬০ - x) \times ৫২$

এবং ফেল করা ছাত্র-ছাত্রীদের মোট নম্বর = $x \times ১৬ = ১৬x$

প্রশ্নমতে,
$(৬০ - x) \times ৫২ + ১৬x = ২৫৮০$

$\Rightarrow ৩১২০ - ৫২x + ১৬x = ২৫৮০$

$\Rightarrow ৩১২০ - ৩৬x = ২৫৮০$

$\Rightarrow ৩১২০ - ২৫৮০ = ৩৬x$

$\Rightarrow ৫৪০ = ৩৬x$

$\Rightarrow x = \frac{৫৪০}{৩৬}$

$\Rightarrow x = ১৫$

$\therefore$ ১৫ জন ছাত্র-ছাত্রী ফেল করেছে।

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = $x$

প্রশ্নমতে, $৪০$ এর $১৫\% = x$ এর $২৫\% + ২$

$\Rightarrow ৪০ \times \frac{১৫}{১০০} = x \times \frac{২৫}{১০০} + ২$

$\Rightarrow ৬ = x \times \frac{১}{৪} + ২$

$\Rightarrow ৬ = \frac{x}{৪} + ২$

$\Rightarrow ৬ - ২ = \frac{x}{৪}$

$\Rightarrow ৪ = \frac{x}{৪}$

$\Rightarrow x = ১৬$

$\therefore$ অপর সংখ্যাটি ১৬।

সমাধান:
$৪^x + ৪^{১-x} = ৪$

$\Rightarrow ৪^x + ৪^১ \cdot ৪^{-x} = ৪$

$\Rightarrow ৪^x + \frac{৪}{৪^x} = ৪$

$\Rightarrow a + \frac{৪}{a} = ৪$ [$৪^x = a$ ধরে]

$\Rightarrow \frac{a^২ + ৪}{a} = ৪$

$\Rightarrow a^২ + ৪ = ৪a$

$\Rightarrow a^২ - ৪a + ৪ = ০$

$\Rightarrow (a - ২)^২ = ০$

$\Rightarrow a - ২ = ০$

$\Rightarrow a = ২$

$\Rightarrow ৪^x = ২$

$\Rightarrow (২^২)^x = ২$

$\Rightarrow ২^{২x} = ২^১$

$\Rightarrow ২x = ১$

$\Rightarrow x = \frac{১}{২}$

সমাধান:
দেওয়া আছে,
$x = \sqrt{৫} + \sqrt{৪}$

$\Rightarrow \frac{১}{x} = \frac{১}{\sqrt{৫} + \sqrt{৪}}$ [ব্যস্তকরণ করে]

$= \frac{\sqrt{৫} - \sqrt{৪}}{(\sqrt{৫} + \sqrt{৪})(\sqrt{৫} - \sqrt{৪})}$ [লব ও হরকে $\sqrt{৫} - \sqrt{৪}$ দ্বারা গুণ করে]

$= \frac{\sqrt{৫} - \sqrt{৪}}{(\sqrt{৫})^২ - (\sqrt{৪})^২}$

$= \frac{\sqrt{৫} - \sqrt{৪}}{৫ - ৪}$

$= \sqrt{৫} - \sqrt{৪}$

$\therefore x + \frac{১}{x} = \sqrt{৫} + \sqrt{৪} + \sqrt{৫} - \sqrt{৪} = ২\sqrt{৫}$

$\therefore x^২ + \frac{১}{x^২} = (x + \frac{১}{x})^২ - ২ \cdot x \cdot \frac{১}{x}$

$= (২\sqrt{৫})^২ - ২$

$= ৪ \times ৫ - ২ = ২০ - ২ = ১৮$