সহকারী যুব উন্নয়ন কর্মকর্তা

মনেকরি,
বৃত্তটির ব্যাস $= 2r$
∴ ব্যাসার্ধ $= \frac{2r}{2} = r$
∴ ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$
আবার, বৃত্তটির ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে,
নতুন বৃত্তের ব্যাস $= 4 \times 2r = 8r$
∴ ব্যাসার্ধ $= \frac{8r}{2} = 4r$
∴ ক্ষেত্রফল $= \pi \times (4r)^2 = \pi \times 16r^2 = 16 \times \pi r^2 = 16 \times \text{১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল}$
অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

আমরা জানি,
$ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$
$∴ (2x + 3y)(4x - 5y) = \left\{\frac{(2x + 3y) + (4x - 5y)}{2}\right\}^2 - \left\{\frac{(2x + 3y) - (4x - 5y)}{2}\right\}^2$
$= \left(\frac{2x + 3y + 4x - 5y}{2}\right)^2 - \left(\frac{2x + 3y - 4x + 5y}{2}\right)^2$
$= \left(\frac{6x - 2y}{2}\right)^2 - \left(\frac{8y - 2x}{2}\right)^2$
$= \left\{\frac{2(3x - y)}{2}\right\}^2 - \left\{\frac{2(4y - x)}{2}\right\}^2$
$= (3x - y)^2 - (4y - x)^2$
∴ নির্ণেয় বর্গের বিয়োগফল: $(3x - y)^2 - (4y - x)^2$

দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, $c = ৩$ মি.
এবং কর্ণ $= ১৩$ মি.
মনেকরি,
আয়তাকার ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য $= a$ মি.
এবং প্রস্থ $= b$ মি.
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল $= ab$
এবং কর্ণ $= \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
প্রশ্নমতে, $ab = ৪৮ \dots\dots\dots$ (i)
এবং $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = ১৩$
$\R→ \sqrt{a^2 + b^2 + ৩^২} = ১৩$
$\R→ a^2 + b^2 + ৯ = (১৩)^২$ [উভয় পক্ষে বর্গ করে পাই]
$\R→ a^2 + b^2 = ১৬৯ - ৯$
$\R→ a^2 + b^2 = ১৬০ \dots\dots\dots$ (ii)

এখন, আমরা জানি,
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$
$= ১৬০ + (২ \times ৪৮) = ১৬০ + ৯৬ = ২৫৬$
$\R→ a + b = \sqrt{২৫৬} \R→ a + b = ১৬ \dots\dots\dots$ (iii)

আবার,
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab$
$= ১৬০ - (২ \times ৪৮) = ১৬০ - ৯৬ = ৬৪$
$\R→ a - b = \sqrt{৬৪} \R→ a - b = ৮ \dots\dots\dots$ (iv)

(iii) + (iv) করে পাই,
$2a = ২৪ \R→ a = ১২$
∴ (iii) হতে পাই,
$১২ + b = ১৬ \R→ b = ১৬ - ১২ = ৪$

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য $= ১২$ মিটার এবং প্রস্থ $= ৪$ মিটার।

সমাধান:
লোকটি A বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করে প্রথমে উত্তর দিকে $AB = ৪$ মাইল যায়। তারপর B থেকে পূর্ব দিকে $BC = ১২$ মাইল যায়। এরপর C থেকে উত্তর দিকে $CD = ১২$ মাইল যায়।

এখানে, চিত্রানুযায়ী:
$BC = AE = ১২$ মাইল
$AB = EC = ৪$ মাইল
$∴ ED = EC + CD = ৪ + ১২ = ১৬$ মাইল

এখন, $\triangle AED$ সমকোণী ত্রিভুজ আকৃতির ক্ষেত্রে পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী:
$AD^2 = AE^2 + ED^2$
$\R→ AD = \sqrt{AE^2 + ED^2} = \sqrt{(১২)^২ + (১৬)^২} = \sqrt{১৪৪ + ২৫৬} = \sqrt{৪০০} = ২০$

∴ শুরুর স্থান A থেকে গন্তব্য D এর দূরত্ব $= ২০$ মাইল।