চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান

দেওয়া আছে,
মিতা একটি কাজ করে ১০ দিনে
∴ মিতা ১ দিনে করে সমগ্র কাজের $\frac{1}{10}$ অংশ

রিতা ঐ একই কাজ করে ১৫ দিনে
∴ রিতা ১ দিনে করে সমগ্র কাজের $\frac{1}{15}$ অংশ

রিতা কাজটি ৫ দিন করার পর বাকী কাজ উভয়ে কত দিনে করতে পারবে তা নির্ণয় করতে হবে।

রিতা ১ দিনে করে $\frac{1}{15}$ অংশ
∴ রিতা ৫ দিনে করে $\frac{5}{15}$ অংশ = $\frac{1}{3}$ অংশ

কাজ বাকি থাকে = $1 - \frac{1}{3}$ অংশ = $\frac{3 - 1}{3}$ অংশ = $\frac{2}{3}$ অংশ

মিতা ও রিতা একত্রে ১ দিনে করে $\left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right)$ অংশ
বা, মিতা ও রিতা একত্রে ১ দিনে করে $\frac{3 + 2}{30}$ অংশ = $\frac{5}{30}$ অংশ = $\frac{1}{6}$ অংশ

এখন,
$\frac{1}{6}$ অংশ কাজ করে মিতা ও রিতা একত্রে ১ দিনে
∴ সম্পূর্ণ বা ১ অংশ কাজ করে মিতা ও রিতা একত্রে $1 \times 6$ দিনে = ৬ দিনে
∴ বাকী $\frac{2}{3}$ অংশ কাজ করতে মিতা ও রিতা একত্রে সময় লাগবে = $\frac{2}{3} \times 6$ দিন = ৪ দিন

নির্ণেয় উত্তর: ৪ দিন।

দেওয়া আছে, $p + q + r = 0$
বা, $p + q = -r$
বা, $q + r = -p$
বা, $r + p = -q$
প্রদত্ত রাশি: $\frac{(p + q)^2}{3pq} + \frac{(q + r)^2}{3qr} + \frac{(r + p)^2}{3rp}$
মান বসিয়ে পাই, $=\frac{(-r)^2}{3pq} + \frac{(-p)^2}{3qr} + \frac{(-q)^2}{3rp}$
$=\frac{r^2}{3pq} + \frac{p^2}{3qr} + \frac{q^2}{3rp}$
$=\frac{r^3 + p^3 + q^3}{3pqr}$ (যেহেতু হরগুলোর লসাগু $3pqr$)
$=\frac{p^3 + q^3 + r^3}{3pqr}$
আমরা জানি, যদি $p + q + r = 0$ হয়, তবে $p^3 + q^3 + r^3 = 3pqr$
∴ প্রদত্ত রাশির মান $= \frac{3pqr}{3pqr} = 1$
(দেখানো হলো)

প্রদত্ত সমীকরণ: $\frac{a}{x - a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x - a - b}$
বা, $\frac{a}{x - a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a}{x - a - b} + \frac{b}{x - a - b}$
বা, $\frac{a}{x - a} - \frac{a}{x - a - b} = \frac{b}{x - a - b} - \frac{b}{x - b}$
বা, $a \left( \frac{1}{x - a} - \frac{1}{x - a - b} \right) = b \left( \frac{1}{x - a - b} - \frac{1}{x - b} \right)$
বা, $a \left( \frac{x - a - b - (x - a)}{(x - a)(x - a - b)} \right) = b \left( \frac{x - b - (x - a - b)}{(x - a - b)(x - b)} \right)$
বা, $a \left( \frac{x - a - b - x + a}{(x - a)(x - a - b)} \right) = b \left( \frac{x - b - x + a + b}{(x - a - b)(x - b)} \right)$
বা, $a \left( \frac{-b}{(x - a)(x - a - b)} \right) = b \left( \frac{a}{(x - a - b)(x - b)} \right)$
উভয়পক্ষকে $ab$ দ্বারা ভাগ করে এবং $x - a - b \neq 0$ বিবেচনা করে পাই,
বা, $\frac{-1}{(x - a)(x - a - b)} = \frac{1}{(x - a - b)(x - b)}$
বা, $- (x - b) = x - a$
বা, $-x + b = x - a$
বা, $-x - x = -a - b$
বা, $-2x = -a - b$
বা, $2x = a + b$
∴ $x = \frac{a + b}{2}$
নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{a + b}{2}$

ধরি, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য $= x$ মিটার।
ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য $= \frac{3x}{4}$ মিটার।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$x^2 + \left(\frac{3x}{4}\right)^2 = (25)^2$
$\R→ x^2 + \frac{9x^2}{16} = 625$
$\R→ \frac{25x^2}{16} = 625$
$\R→ x^2 = \frac{625 \times 16}{25} = 25 \times 16 = 400$
$\R→ x = 20$
সুতরাং অপর বাহুটি $= 20$ মিটার এবং ক্ষুদ্রতম বাহুটি $= \frac{3 \times 20}{4} = 15$ মিটার।
অতএব, সমকোণী ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{1}{2} \times 20 \times 15 = 150$ বর্গমিটার।

উত্তর: ১৫০ বর্গমিটার।

আমরা জানি, মুনাফা $I = \frac{Pnr}{100}$
এখানে,
মুনাফা, $I = 1530$ টাকা
সময়, $n = 6$ বছর
মুনাফার হার, $r = 8.50$ টাকা
আসল বা মূলধন, $P = ?$
সুতরাং, $P = \frac{I \times 100}{n \times r}$
$P = \frac{1530 \times 100}{6 \times 8.50} = \frac{153000}{51} = 3000\text{ টাকা}$

উত্তর: ৩,০০০ টাকা।

ধরি, সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে $2x, 3x$ এবং $5x$ (যেখানে $x$ হলো সংখ্যা তিনটির গ.সা.গু.)।

সংখ্যা তিনটির ল.সা.গু. $= 2 \times 3 \times 5 \times x = 30x$।

প্রশ্নমতে,
$30x = 540$
$\R→ x = \frac{540}{30} = 18$
অতএব, সংখ্যা তিনটির গ.সা.গু. $= 18$।

সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে:
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $= 2x = 2 \times 18 = 36$
মধ্যম সংখ্যা $= 3x = 3 \times 18 = 54$
বৃহত্তম সংখ্যা $= 5x = 5 \times 18 = 90$

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সমষ্টি $= 90 + 36 = 126$।

উত্তর: গ.সা.গু. ১৮ এবং বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সমষ্টি ১২৬।

প্রদত্ত সমীকরণ:$$2(x^2 - 9) + 9x = 0$$$$\R→ 2x^2 - 18 + 9x = 0$$$$\R→ 2x^2 + 9x - 18 = 0$$$$\R→ 2x^2 + 12x - 3x - 18 = 0$$$$\R→ 2x(x + 6) - 3(x + 6) = 0$$$$\R→ (x + 6)(2x - 3) = 0$$হয়,$$x + 6 = 0$$$$\R→ x = -6$$অথবা,$$2x - 3 = 0$$$$\R→ 2x = 3$$$$\R→ x = \frac{3}{2}$$অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $x = -6$ অথবা $x = \frac{3}{2}$

সমাধান:
লোকটি A বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করে প্রথমে উত্তর দিকে $AB = ৪$ মাইল যায়। তারপর B থেকে পূর্ব দিকে $BC = ১২$ মাইল যায়। এরপর C থেকে উত্তর দিকে $CD = ১২$ মাইল যায়।

এখানে, চিত্রানুযায়ী:
$BC = AE = ১২$ মাইল
$AB = EC = ৪$ মাইল
∴ ED = EC + CD = ৪ + ১২ = ১৬$ মাইল এখন, $\triangle AED$ সমকোণী ত্রিভুজ আকৃতির ক্ষেত্রে পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী: $AD^2 = AE^2 + ED^2$ $\R→ AD = \sqrt{AE^2 + ED^2} = \sqrt{(১২)^২ + (১৬)^২} = \sqrt{১৪৪ + ২৫৬} = \sqrt{৪০০} = ২০$ ∴ শুরুর স্থান A থেকে গন্তব্য D এর দূরত্ব $= ২০$ মাইল।

দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, $c = ৩$ মি.
এবং কর্ণ $= ১৩$ মি.
মনেকরি,
আয়তাকার ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য $= a$ মি.
এবং প্রস্থ $= b$ মি.
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল $= ab$
এবং কর্ণ $= \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
প্রশ্নমতে, $ab = ৪৮ \dots\dots\dots$ (i)
এবং $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = ১৩$
$\R→ \sqrt{a^2 + b^2 + ৩^২} = ১৩$
$\R→ a^2 + b^2 + ৯ = (১৩)^২$ [উভয় পক্ষে বর্গ করে পাই]
$\R→ a^2 + b^2 = ১৬৯ - ৯$
$\R→ a^2 + b^2 = ১৬০ \dots\dots\dots$ (ii)

এখন, আমরা জানি,
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$
$= ১৬০ + (২ \times ৪৮) = ১৬০ + ৯৬ = ২৫৬$
$\R→ a + b = \sqrt{২৫৬} \R→ a + b = ১৬ \dots\dots\dots$ (iii)

আবার,
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab$
$= ১৬০ - (২ \times ৪৮) = ১৬০ - ৯৬ = ৬৪$
$\R→ a - b = \sqrt{৬৪} \R→ a - b = ৮ \dots\dots\dots$ (iv)

(iii) + (iv) করে পাই,
$2a = ২৪ \R→ a = ১২$
∴ (iii) হতে পাই,
$১২ + b = ১৬ \R→ b = ১৬ - ১২ = ৪$

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য $= ১২$ মিটার এবং প্রস্থ $= ৪$ মিটার।

আমরা জানি,
$ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$
∴ (2x + 3y)(4x - 5y) = \left\{\frac{(2x + 3y) + (4x - 5y)}{2}\right\}^2 - \left\{\frac{(2x + 3y) - (4x - 5y)}{2}\right\}^2$ $= \left(\frac{2x + 3y + 4x - 5y}{2}\right)^2 - \left(\frac{2x + 3y - 4x + 5y}{2}\right)^2$ $= \left(\frac{6x - 2y}{2}\right)^2 - \left(\frac{8y - 2x}{2}\right)^2$ $= \left\{\frac{2(3x - y)}{2}\right\}^2 - \left\{\frac{2(4y - x)}{2}\right\}^2$ $= (3x - y)^2 - (4y - x)^2$ ∴ নির্ণেয় বর্গের বিয়োগফল: $(3x - y)^2 - (4y - x)^2$

মনেকরি,
বৃত্তটির ব্যাস $= 2r$
∴ ব্যাসার্ধ $= \frac{2r}{2} = r$
∴ ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$
আবার, বৃত্তটির ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে,
নতুন বৃত্তের ব্যাস $= 4 \times 2r = 8r$
∴ ব্যাসার্ধ $= \frac{8r}{2} = 4r$
∴ ক্ষেত্রফল $= \pi \times (4r)^2 = \pi \times 16r^2 = 16 \times \pi r^2 = 16 \times \text{১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল}$
অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।